[ĐS & GT] Lượng giác - 01.Hàm số lượng giác

 

Hướng dẫn giải.

Bài 1.

a) Vì -1 ≤ sinx ≤ 1 nên 3 - sinx > 0 với mọi x nên tập xác định của hàm số là D = R.

b) y = (1 - cosx)/sinx xác định khi và chỉ khi sinx ≠ 0

⇔ x ≠ kπ, k ∈ Z.

Vậy tập xác định D = R\{kπ|k ∈ Z}

c) Vì 1 - sinx ≥ 0 và 1 + cosx ≥ 0 nên hàm số xác định khi và chỉ khi

cosx ≠ -1 ⇔ x ≠ π + k2π, k ∈ Z.

Vậy tập xác định D = R\{π + k2π|k ∈ Z}

Bài 2.

a) f(x) = -2sinx

Tập xác định D = R, ta có f(-x) = -2sin(-x) = 2sinx = -f(x), ∀x ∈ R

Vậy y = -2sinx là hàm số lẻ.

b)

Nên hàm số y = 3sinx - 2 không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

c)

Nên y = sinx - cosx không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

d)

Nên hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 3.

Bài 4.

Ta có bảng sau, trong đó dấu “+” có nghĩa đồng biến, dấu “0” có nghĩa không đồng biến:

Bài 5.

a) Sai vì trên khoảng (-π/2; π/2) hàm số y = sin x đồng biến nhưng hàm số y = cosx không nghịch biến.

b) Đúng do sin2x + cos2x = 1

Giả sử y = sin2x đồng biến trên khoảng I, khi đó với x1, x2 ∈ I và x1 < x2 thì

sin2x1 < sin2x2

⇒ 1 - sin2x1 > 1 - sin2x2 ⇒ cos2x1 > cos2x1

⇒ y = cos2x nghịch biến trên I.

Bài 6.

Bài 7.

Bài 8. Với k ∈ Z ta có :

a)

f(x) = -sin2x

f(x + kπ) = -sin2(x + kπ) = -[(-1)ksinx]2 = -sin2x = f(x)

b) f(x) = 3tan2x + 1

f(x + kπ) = 3tan2(x + kπ) + 1 = 3tan2x + 1 = f(x)

c) f(x) = sinxcosx

f(x + kπ) = y = sin(x + kπ)cos(x + kπ) = (-1)ksinx(-1)kcosx = sinxcosx = f(x)

d)

Bài 9.

Bài 10.

Chỉ có đoạn thẳng EF của đường thẳng đó nằm trong dải |(x; y)|-1 ≤ y ≤ 1 (dải này chứa đồ thị của hàm số y = sin x). Vậy các giao điểm của đường thẳng y = x/3 với đồ thị của hàm số y = sin x phải thuộc đoạn thẳng EF, mọi điểm của đoạn thẳng này cách O một khoảng không dài hơn √(9 + 1) = √10 (và rõ ràng E, F không thuộc đồ thị của ham số y = sin x).

Bài 11.

a) Đồ thị của hàm số y = -sinx là hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số y = sin x

b)

Do đó đồ thị của hàm số y = |sin x| có được từ đồ thị (C) của hàm số y = sinx bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y ≥ 0 (tức là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ Ox).

- Lấy hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị (C) nằm trong nửa mặt phẳng y < 0 (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ Ox).

- Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y < 0.

- Đồ thị y = |sin x| là đường nét liền trong hình dưới đây:

c)

Do đó đồ thị của hàm số y = sin|x| có được từ đồ thị (C) của hàm số y=sinx bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng x ≥ 0 (tức là nửa mặt phẳng bên phải trục tung kể cả bờ Oy).

- Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng x < 0 (tức là nửa mặt phẳng bên trái trục tung không kể bờ Oy).

- Lấy hình đối xứng qua trục tung của phần đồ thị (C) nằm trong nửa mặt phẳng x > 0.

- Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y < 0.

- Đồ thị y = sin|x| là đường nét liền trong hình dưới đây:

Bài 12.

a) Đồ thị của hàm số y = cosx + 2 được do tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx lên trên một đoạn có độ dài bằng 2, tức là tịnh tiến theo vectơ 2j→ ( j→(0; 1) là vecto đơn vị trên trục tung).

b)

Bài 13.

Các bạn đón đọc chương tiếp theo: Giải phương trình lượng giác.