[ĐS10] Logic - 01.Mệnh đề & Tập hợp

 

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

Bài 1. Các câu b) và c) là mệnh đề, ở đó c) là mệnh đề đúng còn b) là mệnh đề sai. Câu a) không phải là mệnh đề.
Bài 2.
a) Mệnh đề phủ định là: “phương trình x2 - 3x + 2 = 0 vô nghiệm”. Đây là một mệnh đề sai vì phương trình x2 - 3x + 2 = 0 có hai nghiệm là x1 = 1, x2 = 2.
b) Mệnh đề phủ định là: “210 - 1 không chia hết cho 11”. Đây là mệnh đề đúng vì 210 - 1 = 1023 chia hết cho 11.
c) Mệnh đề phủ định là: “Có hữu hạn các số nguyên tố”. Đây là mệnh đề sai.
Bài 3. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách.
Cách 1. “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”.
Cách 2. “Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”.
Mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề đúng.
Bài 4. Mệnh đề P(5): “52 - 1 chia hết cho 4” là mệnh đề đúng, mệnh đề P(2): “22 - 1 chia hết cho 4" là mệnh đề sai.
Bài 5.
a) Mệnh đề sai (chẳng hạn, với n = 3 thì 32 - 1 = 8 không là bội số của 3). Ta có mệnh đề phủ định: “∃n ∈ N*, n2 - 1 không là bội số của 3”.
b) Mệnh đề đúng ( vì x2 – x + 1 = (x – 1/2)2 + 3/4 > 0 với mọi số thực x)
Ta có mệnh đề phủ định: “∃x ∈ R, x2 - x + 1 ≤ 0)”.
c) Mệnh đề sai (mệnh đề này có nghĩa là √3 là một số hữu tỷ). Mệnh đề phủ định: “∀x ∈ Q, x2 ≠ 3”.
d) Mệnh đề đúng (chẳng hạn n = 2, khi đó 22 + 1 = 5 là số nguyên tố). Mệnh đề phủ định: “∀n ∈ N, 2n + 1 là hợp số”.
e) Mệnh đề sai (chẳng hạn với n = 1 thì 21 < 1 + 2 = 3). Mệnh đề phủ định là: “∃n ∈ N, 2n < n + 2”.

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

Bài 6. Mệnh đề đảo là: Nếu một tam giác có hai đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân”. Mệnh đề đảo là đúng.

Bài 7. Giả sử a + b < 2 √ab . Khi đó a + b - 2 √ab < 0 hay (√a- √b)2 < 0. Ta có một mâu thuẫn.

Bài 8. “Điều kiện đủ để a + b là số hữu tỉ là cả hai số a và b là số hữu tỉ."

Bài 9. “Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5”.

Bài 10. Điều kiện cần và đủ để tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng các góc đối diện của nó bằng 180o.

Bài 11. Giả sử n2 chia hết cho 5 và n không chia hết cho 5. Nếu n = 5k ± 1, k ∈ N thì n2 = 25k2 ± 10k + 1 = 5(5k2 ± 2k) + 1 không chia hết cho 5. Nếu n = 5k ± 2, k € N thì n2 = 5(5k2 ± 4k) + 4 không chia hết cho 5. Điều này cho ta một mâu thuẫn với n2 chia hết cho 5.

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

Bài 12.

Câu	Không là mệnh đề	Mệnh đề đúng	Mệnh đề sai
24 - 1 chia hết cho 5.	X
Số 153 là số nguyên tố.			X
Cấm đá bóng ở đây!	X
Bạn có máy tính không?	X

Bài 13.
a) Mệnh đề phủ định là: “Tứ giác ABCD đã cho không là một hình chữ nhật”.
b) Mệnh đề phủ định là: “Số 9801 không là số chính phương”.
Bài 14. Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu là:
“Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện là 180o thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp”. Hiển nhiên mệnh đề này là mệnh đề đúng.
Bài 15. Phát biểu: “Nếu 4686 chia hết cho 6 thì 4686 chia hết cho 4”. Mệnh đề này là mệnh đề sai vì mệnh đề Q là sai (do 4686 không chia hết cho 4).
Bài 16. Mệnh đề p là: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A”; Mệnh đề Q: “Tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2 .
Bài 17.
a) Đúng;
b) Đúng;
c) Sai;
d) Sai;
e) Đúng;
g) Sai
Bài 18.
a) Mệnh đề phủ định là: “Có học sinh trong lớp em không thích môn Toán”.
b) Mệnh đề phủ định là: “Mọi học sinh trong lớp em đều biết sử dụng máy tính”.
c) Mệnh đề phủ định là: “Có một học sinh trong lớp em không biết đá bóng”.
d) Mệnh đề phú định là: “Tất cả các học sinh trong lớp em đều đã được tắm biển”.
Bài 19.
a) Mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định là “∀x ∈ R, x2 ≠ 1”.
b) Mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định “∀n ∈ N, n(n + 1) không phải là số chính phương”.
c) Mệnh đề sai vì khi x = 1 ta có (x - l)2 = x - 1.
Mệnh đề phủ định là:“ 3x ∈ R, (x - l)2 = x - 1”.
d) Mệnh đề đúng. Thật vậy, nếu n là số tự nhiên chẵn, khi đó n = 2k (k ∈ N),
⇒ n2 + 1 = 4k2 + 1 không chia hết cho 4.
Nếu n là số tự nhiên lẻ, khi đó n = 2k + 1 (k 6 N),
⇒ n2 + 1 = 4(k2 + k) + 2 cũng không chia hết cho 4.
Bài 20. Khẳng định B là đúng.
Bài 21. Khẳng định (A) là khẳng định phù hợp với mệnh đề chứa biến ở trên.

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

Bài 22.
a) A = {0; 2; -1/2, vì phương trình (2x - x2)(2x2 - 3x - 2) = 0 có các nghiệm thực là: 0; 2; - 1/2.
b) B = {2; 3; 4; 51}.
Bài 23.
a) A là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 10.
b) B là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 3.
c) C là tập hợp các số nguyên n không nhỏ hơn -5, không lớn hơn 15 và chia hết cho 5.
Bài 24. Từ cách cho tập A ta có được A = (2; 3; 11).
Vì phương trình: (x - l)(x – 2)(x - 3) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = 3. Do đó ta có ngay: A ≠ B.
Bài 25.
+ Vì 2 ∈ A, 6 ∈ A ⇒ B ⊂ A.
+ Vì 4 ∈ A, 6 ∈ A ⇒ C ⊂ A.
+ Vì 4 ∈ D, 6 ∈ D ⇒ C ⊂ D.
Ngoài ra không còn tập nào là con của tập nào nữa.
Bài 26.
a) A∩ B là tập hợp các học sinh lớp 10 học môn Tiếng Anh ở trường em.
b) A\ B là tập hợp những học sinh lớp 10 nhưng không học Tiếng Anh ở trường em.
c) A ∪ B là tập hợp các học sinh lớp 10 hoặc học sinh học môn Tiếng Anh
d) B \ A là tập hợp các học sinh học môn Tiếng Anh nhưng không học lớp 10 ở trường em.
Bài 27.
- F⊂ D⊂ C⊂ B⊂ A;F⊂ E⊂ C⊂ B⊂ A;
- D ∩ E = F, tức là tập hợp D ∩ E là tập hợp các hình vuông.
Bài 28.
- Ta có A \ B = {5}, B \ A = {2} nên (A \ B) ∪ (B \ A) = {2; 5} (1)
- Ta cũng có: A ∪ B = {1; 2; 3; 5}, A∩ B={l;3}.
Từ đó ta có: (A∪ B)\(A∩ B) = {2; 5} (2),
Từ (1) và (2) ta suy ra: (A∪ B)\(A∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A).
Bài 29.
a) Sai;
b) Đúng;
c) Sai;
d) Đúng.
Bài 30. A ∪B = [-5; 2); A ∩ B = (-3; 1].
Bài 31. Ta sử dụng biểu đồ Ven

Từ biểu đồ Ven ta có: A = {1; 3; 5; 6; 7; 8; 9}, B = (2; 3; 6; 9; 10).
Bài 32. Ta có B \ C = {2; 0; 8; 9} nên A ∩ (B \ C) = {2; 9}. Mật khác, ta có A ∩ B = {2; 4; 6; 9} nên (A ∩ B) \ C = {2; 9}. Từ kết quả này ta thấy A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C.
Chú ý: Có thể dùng biểu đồ Ven ta cũng đi đến kết quả trên.
Bài 33. Xem hình dưới đây:

Bài 34. Ta có: A = {0; 2; 4; 6; 8; 10}, B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} và C = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.
Từ đó A ∩ (B ∪ C) = A và (A \ B) ∪ (A \ C) ∪ (B \ C) = {0; 1; 2; 3; 8; 10}.
Bài 35.
a Sai;
b) Đúng.
Bài 36.
a) {a; b; c}, {a; b; d)}, {b; c; d}, {a; c; d}.
b) {a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d}, {c; d}.
c) Các tập con có không quá một phần tử là: {a}, {b}, {c}, {d}, Ø.
Bài 37. A ∩ B = 0 khi a + 2 < b hoặc b + 1 < a tức là a < b - 2 hoặc a > b + 1
Vậy A ∩ B ≠ Ø khi a ∈ [b - 2; b + 1].
Bài 38.
- Các khẳng định (A), (B), (C) là đúng vì ta dựa vào nhận xét A ⊂ B
⇒ A ∩ B = A.
- Khẳng định (D) là sai vì -1 ∈ Z nhưng -l∉N∪ N*.
(Chú y là N ∪ N* = N).
Bài 39.
- Ta có: A ∪ B = {x ∈ R\ -1 < x ≤ 0 hoặc 0 ≤ x < 11 = khoảng (-1; 1).
- Ta có: A ∩ B = (x ∈ R: -1 < x ≤ 0 và 0 ≤ x < 11 = {0}.
- CRA = (-∞; -1] ∪ (0; +∞).
Bài 40.
- Lấy x ∈ A => 3k1 ∈ Z để x = 2k1 =>x là số chẵn hay x ∈ B.
Ngược lại, x ∈ B => tồn tại k2 để x = 2k2 với k-2 ∈ Z => x ∈ A. Vậy A = B.
- Lấy x ∈ A => 3k1 ∈ Z để x = 2k1 , đặt k2 = k1-1 ∈ Z=>x = 2(k2 - 1) => X ∈ C. Ngược lại, lấy X ∈ c => 3k3 ∈ Z để x = 2k3 - 2
hay x = 2(k3 - 1), vì k3 - 1 ∈ Z => X ∈ A. Vây A = C.
- Với k = 2 => 3k + l = 7 ∉ A → A ≠ D.
Bài 41.
- Ta có: A ∪ B = (0; 2] ∪ [1; 4) = (0; 4), từ đây suy ra:
CR (A ∪ B) = (-∞; 0] ∪ [4; +∞).
- Ta có: A ∩ B = [1; 2], từ đây suy ra:
CR (A ∩ B) = (-∞; 1) ∪ (2; +∞).
Bài 42. Ta có: B ∩ C= {b; c}, A ∪ B = {a; b; c; d}, A ∪ C = {a; b; c; e}, A ∩ B = {b; c} nên:
- A∪ (B∩ C) = {a; b; c}, (A∪ B) ∩ C= {b; c}
⇒ Khẳng định (A) là sai.
- A ∪ (B ∩ C) = {a; b; c}, (A∪B) ∩ (A∪ C)= {a; b; c}
⇒Khẳng định (B) là đúng.
- (A ∪ B) ∩ C = {b; c}, (A∪ B) ∩ (A∪ C)= {a; b ;c}
⇒ Khẳng định (C) là sai.
- (A∩ B) ∪ C= {b; c; e}, (A ∪ B) ∩ C= {b; c}
⇒ Khẳng định (D) là sai.