[Toán 9-Căn bậc hai] &01. Các phép toán trên căn bậc hai

 

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1. Ta có: √121 = 11 vì 11 > 0 và 112 = 121 nên

Căn bậc hai số học của 121 là 11. Căn bậc hai của 121 là 11 và – 11.

Tương tự:

Căn bậc hai số học của 144 là 12. Căn bậc hai của 144 là 12 và -12.

Căn bậc hai số học của 169 là 13. Căn bậc hai của 169 là 13 và -13.

Căn bậc hai số học của 225 là 15. Căn bậc hai của 225 là 15 và -15.

Căn bậc hai số học của 256 là 16. Căn bậc hai của 256 là 16 và -16.

Căn bậc hai số học của 324 là 18. Căn bậc hai của 324 là 18 và -18.

Căn bậc hai số học của 361 là 19. Căn bậc hai của 361 là 19 và -19.

Căn bậc hai số học của 400 là 20. Căn bậc hai của 400 là 20 và -20.

Bài 2. a) 2 = √4

Vì 4 > 3 nên √4 > √3 (định lí). Vậy 2 > √3

b) 6 = √36. Vì 36 < 41 nên √36 < √41. Vậy 6 < √41

c) 7 = √49. Vì 49 > 47 nên √49 > √47. Vậy 7 > √47

Bài 3.

a) x2 = 2 => x1 = √2 và x2 = -√2

Dùng máy tính bỏ túi ta tính được:     √2 ≈ 1,414213562

Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba là: x1 = 1,414; x2 = - 1,414

b) x2 = 3 => x1 = √3 và x2 = -√3

Dùng máy tính ta được:     √3 ≈ 1,732050907

Vậy x1 = 1,732; x2 = - 1,732

c) x2 = 3,5 => x1 = √3,5 và x2 = -√3,5

Dùng máy tính ta được:     √3,5 ≈ 1,870828693

Vậy x1 = 1,871; x2 = - 1,871

d) x2 = 4,12 => x1 = √4,12 và x2 = -√4,12

Dùng máy tính ta được:     √4,12 ≈ 2,029778313

Vậy x1 = 2,030 ; x2 = - 2,030

Bài 4. Lưu ý: Vì x không âm (x ≥ 0) nên các căn thức trong bài đều xác định.

a) √x = 15

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 152 ⇔ x = 225. Vậy x = 225

b) 2√x = 14 ⇔ √x = 7

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 72 ⇔ x = 49. Vậy x = 49

c) √x < √2

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 2. Vậy 0 ≤ x < 2

d) 

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: 2x < 16 ⇔ x < 8. Vậy 0 ≤ x < 8

Bài 5. Diện tích hình chữ nhật: SHCN = 3,5.14 = 49 (m2)

Gọi a (m) (a > 0) là độ dài của cạnh hình vuông. Suy ra diện tích hình vuông là

SHV = a2 = 49 (m2) => a = 7 (m)

Vậy cạnh hình vuông có độ dài là 7m.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 6.

a)

b) Điều kiện -5a ≥ 0 => a ≤ 0

c) Điều kiện 4 – a ≥ 0 => -a ≥ -4 = > a ≤ 4

d) Điều kiện 3a + 7 ≥ 0 => 3a ≥ -7

Bài 7.

Bài 8.

(vì 2 - √3 > 0 do 2 = √4 mà √4 > √3)

(vì √11 - 3 > 0 do 3 = √9 mà √11 > √9)

c) 2√a2 = 2|a| = 2a với a ≥ 0

(vì a < 2 nên 2 – a > 0)

Bài 9.

a) √x2 = 7 ⇔ |x| = 7 ⇔ x1 = 7 và x2 = -7

b) √x2 = |-8| ⇔ √x2 = 8 ⇔ |x| = 8 ⇔ x1 = 8 và x2 = -8

⇔ |x| = 3 ⇔ x1 = 3 và x2 = -3

⇔ |3x| = 12 ⇔ |x| = 4 ⇔ x1 = 4 và x2 = -4

Bài 10.

a) Ta có: VT = (√3 - 1)2 = (√3)2 - 2√3 + 1 = 3 - 2√3 + 1 = 4 - 2√3 = VP

Vậy (√3 - 1)2 = 4 - 2√3 (đpcm)

b) Theo câu a) ta có:

= |√3 - 1| - √3 = √3 - 1 - √3 = -1 = VP (vì √3 - 1 > 0) (đpcm)

Bài 11.

= 4.5 + 14:7 = 20 + 2 = 22

= 36 : 18 – 13 = - 11

Bài 12.

2x + 7 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ -7

-3x + 4 ≥ 0 ⇔ -3x ≥ -4

Bài 13.

a) 2√a2 - 5a = 2|a| - 5a = -2a - 5a = -7a (do a < 0 nên |a| = -a)

b) √25a2 + 3a = 5|a| + 3a = 5a + 3a = 8a (do a ≥ 0 nên |a| = a)

c) √9a4 + 3a2 = √(3a2)2 + 3a2 = |3a2| + 3a2 = 3a2 + 3a2 = 6a2

(do a2 ≥ 0 với mọi a nên |3a2| = 3a2)

d) 5√4a6 - 3a3 = 5√(2a3)2 - 3a3 = 5|2a3| - 3a3

Với a < 0 thì |2a3| = – 2a3 nên 5|2a3| - 3a3 = -10a3 - 3a3 = -13a3

Bài 14.

a) x2 - 3 = x2 - (√3)2 = (x - √3)(x + √3)

b) x2 - 6 = x2 - (√6)2 = (x - √6)(x + √6)

c) x2 + 2√3 x + 3 = x2 + 2√3 x + (√3)2 = (x + √3)2

d) x2 - 2√5 x + 5 = x2 - 2√5 x + (√5)2 = (x - √5)2

Bài 15.

a) x2 – 5 = 0 ⇔ x2 = 5 ⇔ x1 = √5; x2 = -√5

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = √5; x2 = -√5

Cách khác: x2 – 5 = 0 ⇔ x2 – (√5)2 = 0 ⇔ (x - √5)(x + √5) = 0

hoặc x - √5 = 0 ⇔ x = √5 hoặc x + √5 = 0 ⇔ x = -√5

b) x2 – 2√11 x + 11 = 0 ⇔ x2 – 2√11 x + (√11)2 = 0 ⇔ (x - √11)2 = 0 ⇔ x - √11 = 0 ⇔ x = √11

Vậy phương trình có một nghiệm là x = √11

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 16. Sai lầm ở chỗ: sau khi lấy căn hai vế của (m – V)2 = (V – m)2 ta phải được kết quả |m – V| = |V – m| chứ không thể có m – V = V – m (theo hằng đẳng thức √A2 = |A|.

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.

Bài 17.

Bài 18.

Bài 19.

Bài 20.

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Do a ≥ 0 nên bài toán luôn xác định. Ta có:

(Vì a ≥ 0 nên |a| = a)

d) Ta có:

Bài 21.

- Chọn B

- Vì ta có:

Bài 22.

Bài 23.

Bài 24.

(vì (1 + 3x)2 > 0)

Thay x = √2 vào ta được: 2[1 + 3.(-√2)]2 = 2(1 - 3√2)2 = 2(1 - 6√2 + 32.2) = 2 - 12√2 + 36

= 38 - 12√2 = 38 - 12.1,414 = 38 - 16,968 = 21,032

Thay a = -2, b = -√3 ta được: |3(-2)|.|-√3 - 2| = 6(√3 + 2) = 6(1,732 + 2) = 6.3,732 = 22,392

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 25.

a) √16x = 8 (điều kiện: x ≥ 0) ⇔ 16x = 82 ⇔ 16x = 64 ⇔ x = 4

(Hoặc: √16x = 8 ⇔ √16.√x = 8 ⇔ 4√x = 8 ⇔ √x = 2 ⇔ x = 4)

b) điều kiện: x ≥ 0

c) điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 (*)

x = 50 thỏa mãn điều kiện (*) nên x = 50 là nghiệm của phương trình.

d) Vì (1 - x)2 ≥ 0 ∀x nên phương trình xác định với mọi giá trị của x.

- Khi 1 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1

Ta có: 2|1 – x| = 6 ⇔ 2(1 – x) = 6 ⇔ 2(1 – x) = 6 ⇔ –2x = 4 ⇔ x = –2 (nhận)

- Khi 1 – x < 0 ⇔ x > 1

Ta có: 2|1 – x| = 6 ⇔ 2[– (1 – x)] = 6 ⇔ x – 1 = 3 ⇔ x = 4 (nhận)

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = - 2; x = 4

Bài 26.

a) Ta có:

b) Ta có:

Bài 27.

a) Ta có: 2 = √4 > √3 nên 2.2 > 2√3. Vậy √4 > 2√3

b) Ta có: √5 > √4 = 2 nên √5 > 2. Vậy -√5 < -2

Bài 28.

Bài 29.

Bài 30.

(Vì x > 0 nên |x| = x; y2 > 0 với mọi y ≠ 0)

(Vì x2 ≥ 0 với mọi x; và vì y < 0 nên |2y| = – 2y)

(Vì x < 0 nên |5x| = – 5x; y > 0 nên |y3| = y3)

(Vì x2y4 = (xy2)2 > 0 với mọi x ≠ 0, y ≠ 0)

Bài 31.

√25 - √16 = √52 - √42 = 5 - 4 = 1

Vì 3 > 1 nên

Bài 32.

Bài 33.

a)

b)

c)

d)

Bài 34.

(vì a < 0 nên |a| = -a, b2 > 0 với mọi b ≠ 0 nên |b2| = b2 )

(vì a > 3 nên |a - 3| = a - 3)

Vì b < 0 nên |b| = -b

Vì a ≥ -1,5 nên 3 + 2a ≥ 0. Do đó: |3 + 2a| = 3 + 2a

Vậy:

(vì a < b < 0 và b < 0 nên |a - b| = -(a - b), ab > 0)

Bài 35.

- Với x ≥ 3 thì |x - 3| = x - 3 nên ta được: x - 3 = 9 ⇔ x = 12

- Với x < 3 thì |x - 3| = 3 - x nên ta được: 3 - x = 9 ⇔ x = -6

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 12; x = -6

Bài 36.

a) Đúng, vì √0,0001 = √0,012 = 0,01

b) Sai, vì vế phải không có nghĩa. (Lưu ý: √A có nghĩa khi A ≥ 0)

c) Đúng, vì 7 = √72 = √49 > √39

6 = √62 = √36 < √39

d) Đúng, vì 4 - √13 = √42 - √13 = √16 - √13 > 0

Do đó: (4 - √13).2x < √3(4 - √13) (giản ước hai vế với (4 - √13)) ⇔ 2x < √3

Bài 37. Dựa vào định lý Pitago, ta thấy mỗi cạnh của tứ giác MNPQ là đường chéo của hình chữ nhật do hai ô vuông ghép lại, nên hình đó có bốn cạnh bằng nhau và bằng

Tứ giác MNPQ là hình thoi có bốn cạnh bằng nhau.

Mỗi đường chéo của tứ giác MNPQ là đường chéo của hình chữ nhật do ba ô vuông ghép lại, nên giác NMPQ có hai đường chéo bằng nhau và bằng

Hình thoi MNPQ là hình vuông có hai đường chéo bằng nhau.

Diện tích hình vuông MNPQ:             S = (√5)2 = 5 (cm2)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 43.

Bài 44. (Chú ý: Muốn đưa thừa số vào trong căn thì thừa số phải là số không âm. Chẳng hạn như ở phần b, c thì chúng ta không đưa dấu "-" vào trong căn.)

Bài 45.

Bài 46. 

a) Với x ≥ 0 thì √3x có nghĩa. Ta có:

b) Với x ≥ 0 thì √2x có nghĩa. Ta có:

Bài 47.

(có |x + y| = x + y do x + y > 0 vì x ≥ 0, y ≥ 0 và x ≠ y)

(có |a| = a do a > 0,5 và |1 - 2a| = 2a - 1 vì 2a - 1 > 0 do a > 0,5)

Bài 48. (Ghi nhớ: Khử căn ở mẫu tức là nhân cả tử và mẫu với thừa số có chứa căn.)

Bài 49.

(do xy > 0 (gt) nên đưa thừa số xy vào trong căn để khử mẫu)

Bài 50.

Cách khác:

Bài 51.

Bài 52.

Bài 53.

d)

Bài 54.

Nhận xét: Cách làm thứ nhật (nhận dạng tử có thể phân tích thành nhân tử để rút gọn nhân tử đó với mẫu thích hợp hơn cách làm thứ hai (trục căn thức ở mẫu rồi thu gọn). Vì trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn sẽ thêm nhiều phép nhân.

Bài 55.

a) ab + b√a + √a + 1 = [(√a)2b + b√a] + (√a + 1) = b√a(√a + 1) + (√a + 1) = (√a + 1)(b√a + 1)

= (√x - √y)(√x + √y)2 = (√x - √y)(√x + √y)(√x + √y) = (x - y)(√x + √y)

Bài 56.

Vì √24 < √29 < √32 < √45. Nên ta sắp xếp được: 2√6 < √29 < 4√2 < 3√5

Vì √38 < √56 < √63 < √72. Nên ta sắp xếp được: √38 < 2√14 < 3√7 < 6√2

Bài 57.

- Chọn D

⇔ 5√x - 4√x = 9 ⇔ √x = 9 ⇔ x = 81

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 58.

= √5 + √5 + √5 = 3√5

c) √20 - √45 + 3√18 + √72 = √4.5 - √9.5 + 3√9.2 + √36.2 = 2√5 - 3√5 + 9√2 + 6√2

= -√5 + 15√2

Bài 59.

= 5√a - 4b.5a√a + 5a.4b√a - 2.3√a = 5√a - 20ab√a + 20ab√a - 6√a = -√a

Bài 60.

a) Rút gọn:

b) Để B = 16 thì:

⇔ x + 1 = 16 ⇔ x = 15 (thỏa mãn x ≥ -1)

Bài 61.

a) Biến đổi vế trái:

b) Biến đổi vế trái:

Bài 62.

= 9√6 + 3√6 - √6 = 11√6

c) (√28 - 2√3 + √7)√7 + √84 = (√4.7 - 2√3 + √7)√7 + √4.21 = (2√7 - 2√3 + √7)√7 + 2√21

= (3√7 - 2√3)√7 + 2√21 = 3.7 - 2√21 + 2√21 = 21

Bài 63.

Bài 64.

a) Biến đổi vế trái:

b) Biến đổi vế trái:

(vì a + b > 0 nên |a + b| = a + b; b2 > 0)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 65. Ta có:

Vậy M < 1.

Bài 66.

Bài 67. ∛512 = ∛83 = 8

∛-729 = ∛(-9)3 = -9

∛0,064 = ∛(0,4)3 = 0,4

∛-0,216 = ∛(-0,6)3 = -0,6

∛-0,008 = ∛(-0,2)3 = -0,2

Chú ý: Bạn có thể tìm các căn bậc ba ở trên bằng máy tính bỏ túi.

(Ghi nhớ: Các bạn nên ghi nhớ một số lũy thừa bậc 3 của các số < 10:

    23 = 8;    33 = 27;    43 = 64;    53 = 125;

    63 = 216;    73 = 343;    83 = 512;    93 = 729)

Bài 68.

a) ∛27 - ∛-8 - ∛125 = ∛33 - ∛(-2)3 - ∛53 = 3 - (-2) - 5 = 3 + 2 - 5 = 0

= ∛27 - ∛216 = ∛33 - ∛63 = 3 - 6 = -3

Bài 69.

a) Ta có: 5 = ∛53 = ∛125. Vì ∛125 > ∛123 nên 5 > ∛123

b) Ta có: 5∛6 = ∛53.6 = ∛125.6 = ∛750

                6∛5 = ∛63.5 = ∛216.5 = ∛1080

Vì ∛750 < ∛1080 nên 5∛6 < 6∛5

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 70.

Bài 71.

a)(√8 - 3√2 + √10)√2 - √5 = (√22.2 - 3√2 + √5.2)√2 - √5 = (2√2 - 3√2 + √5.√2)√2 - √5

= (2 - 3 + √5)√2.√2 - √5 = (-1 + √5).2 - √5 = -2 + 2√5 - √5 = -2 + √5

b) 0,2√((-10)2.3) + 2√(√3 - √52) = 0,2.10√3 + 2|√3 - √5| = 2√3 + 2(√5 - √3)

= 0,2.10.√3 + 2|√3 - √5| = 2√3 + 2(√5 - √3) = 2√3 + 2√5 - 2√3 = 2√5

Bài 72.

a) xy - y√x + √x - 1 = (√x)2.y - y√x + √x - 1 = y√x(√x - 1) + √x - 1 = (√x - 1)(y√x + 1) với x ≥ 1

= √x(√a + √b) - √y(√a + √b) = (√a + √b)(√x - √y) (với x, y, a và b đều không âm)

(với a + b, a - b đều không âm)

d) 12 - √x - x = 16 - x - 4 - √x (tách 12 = 16 - 4 và đổi vị trí)

= [42 - (√x)2] - (4 + √x) = (4 - √x)(4 + √x) - (4 + √x) = (4 + √x)(4 - √x - 1) = (4 + √x)(3 - √x)

Bài 73.

Tại a = -9 ta được: 

= 3√-(-9) - |3 + 2(-9)| = 3√32 - |3 - 18| = 3.3 - |-15| = 9 - 15 = -6

Tại a = √2 ta được:

= |1 - 5√2| - 4√2 = (5√2 - 1) - 4√2 = √2 - 1

Tại x = -√3 ta được:

= 4(-√3) - |3(-√3) + 1| = -4√3 - |-3√3 + 1| = -4√3 - (3√3 - 1) = -7√3 + 1

Bài 74.

⇔ -2x + 1 = 3 ⇔ -2x = 2 ⇔ x = -1 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và x = -1

Bài 75. Biến đổi vế trái:

= (1 + √a)(1 - √a) = 1 - (√a)2 = 1 - a = VP (đpcm)

Bài 76.

a) Rút gọn

b) Thay a = 3b vào ta được: