[ĐS8] ĐA THỨC - &01. Nhân và chia đa thức; Hằng đẳng thức.

Hướng dẫn giải.

Bài 1.

Bài 2.

a) x(x – y) + y(x + y) = x.x – x.y + y.x + y.y = x2 – xy + xy + y2 = x2 + y2.

Tại x = –6 ; y = 8, giá trị biểu thức bằng : (–6)2 + 82 = 36 + 64 = 100.

b) x.(x2 – y) – x2.(x + y) + y.(x2 – x) = x.x2 – x.y – (x2.x + x2.y) + y.x2 – y.x

= x3 – xy – x3 – x2y + x2y – xy = (x3 – x3) + (x2y – x2y) – xy – xy = –2xy

Tại  và y = –100, giá trị biểu thức bằng: 

Bài 3.

a) 3x(12x – 4) – 9x(4x – 3) = 30

3x.12x – 3x.4 – (9x.4x – 9x.3) = 30

36x2 – 12x – 36x2 + 27x = 30

(36x2 – 36x2) + (27x – 12x) = 30

15x = 30

x = 2

Vậy x = 2.

b) x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15

(x.5 – x.2x) + (2x.x – 2x.1) = 15

5x – 2x2 + 2x2 – 2x = 15

(2x2 – 2x2) + (5x – 2x) = 15

3x = 15

x = 5.

Vậy x = 5.

Bài 4. Giả sử tuổi bạn là x. Đem tuổi của mình:

   + Cộng thêm 5 ⇒ x + 5

   + Được bao nhiêu đem nhân với 2 ⇒ (x + 5).2

   + Lấy kết quả trên cộng với 10 ⇒ (x + 5).2 + 10

   + Nhân kết quả vừa tìm được với 5 ⇒ [(x + 5).2 + 10].5

   + Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ đi 100 ⇒ [(x + 5).2 + 10].5 – 100

Rút gọn biểu thức trên :

[(x + 5).2 + 10].5 – 100 = (x.2 + 5.2 + 10).5 – 100 = (2x + 20).5 – 100

= 2x.5 + 20.5 – 100 = 10x + 100 – 100 = 10x

Vậy kết quả cuối cùng bằng mười lần số tuổi thực của bạn. Do đó ta chỉ cần lấy kết quả cuối cùng chia cho 10 là ra số tuổi thực.

Bài 5.

a) x(x – y) + y(x – y) = x.x – x.y + y.x – y.y = x2 – xy + xy – y2 = x2 – y2 + (xy – xy) = x2 – y2

b) xn - 1(x + y) - y(xn - 1+ yn - 1 =xn - 1.x + xn - 1.y - y.xn - 1- y.yn - 1 =xn+ xn - 1y - xn - 1y - yn =xn-yn

Bài 6. Thay x = - 1, y = 1 vào biểu thức, ta được :

a(-1)(-1 – 1) + 13 (- 1 + 1) = (-a).(-2) + 1.0 = 2a

Vậy đánh dấu x vào ô tương ứng với 2a.

Bài 7.

a) (x2 – 2x + 1)( x – 1)    = x2.(x – 1) + (–2x).(x – 1) + 1.(x – 1)

   = x2.x + x2.(– 1) + (– 2x).x + (–2x).(–1) + 1.x + 1.(–1)    = x3 – x2 – 2x2 + 2x + x – 1

   = x3 – (x2 + 2x2) + (2x + x) – 1    = x3 – 3x2 + 3x – 1

b) (x3 – 2x2 + x – 1)(5 – x)    = (x3 – 2x2 + x – 1).5 + (x3 – 2x2 + x – 1).(–x)

   = x3.5 + (–2x2).5 + x.5 + (–1).5 + x3.(–x) + (–2x2).(–x) + x.(–x) + (–1).(–x)

   = 5x3 – 10x2 + 5x – 5 – x4 + 2x3 – x2 + x    = –x4 + (5x3 + 2x3) – (10x2 + x2) + (5x + x) – 5

   = –x4 + 7x3 – 11x2 + 6x – 5

Ta có: (x3 – 2x2 + x – 1).(x – 5) = (x3 – 2x2 + x – 1).[–(5 – x)]

= – (x3 – 2x2 + x – 1).(5 – x) = – (–x4 + 7x3 – 11x2 + 6x – 5) = x4 – 7x3 + 11x2 – 6x + 5.

Bài 8.

b) (x2 – xy + y2)(x + y)    = (x2 – xy + y2).x + (x2 – xy + y2).y

   = x2.x + (–xy).x + y2.x + x2.y + (–xy).y + y2.y    = x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3

   = x3 + y3 + (xy2 – xy2) + (xy2 – xy2)    = x3 + y3

Bài 9. Ta có:

A = (x – y).(x2 + xy + y2)    = x.(x2 + xy + y2) + (–y).(x2 + xy + y2)

   = x.x2 + x.xy + x.y2 + (–y).x2 + (–y).xy + (–y).y2    = x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3

   = x3 – y3 + (x2y – x2y) + (xy2 – xy2)    = x3 – y3.

Tại x = –10, y = 2 thì A = (–10)3 – 23 = –1000 – 8 = –1008

Tại x = –1 ; y = 0 thì A = (–1)3 – 03 = –1 – 0 = –1

Tại x = 2 ; y = –1 thì A = 23 – (–1)3 = 8 – (–1) = 9

Tại x = –0,5 ; y = 1,25 thì A = (–0,5)3 – 1,253 = –0,125 – 1,953125 = –2,078125

Vậy ta có bảng sau :

Giá trị của x và y	Giá trị biểu thức (x – y)(x2 + xy + y2)
x = -10 ; y = 2	-1008
x = -1 ; y = 0	-1
x = 2 ; y = -1	9
x = -0,5 ; y = 1,25	-2,078125

Bài 10.

b) (x2 – 2xy + y2)(x – y)    = (x2 – 2xy + y2).x + (x2 – 2xy + y2).(–y)

   = x2.x + (–2xy).x + y2.x + x2.(–y) + (–2xy).(–y) + y2.(–y)

   = x3 – 2x2y + xy2 – x2y + 2xy2 – y3    = x3 – (2x2y + x2y) + (xy2 + 2xy2) – y3

   = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3.

Bài 11. (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7 = x.(2x + 3) + (–5).(2x + 3) – 2x.(x – 3) + x + 7

= (x.2x + x.3) + (–5).2x + (–5).3 – (2x.x + 2x.(–3)) + x + 7

= 2x2 + 3x – 10x – 15 – 2x2 + 6x + x + 7 = (2x2 – 2x2) + (3x – 10x + 6x + x) + 7 – 15 = – 8

Vậy với mọi giá trị của biến x, biểu thức luôn có giá trị bằng –8

Bài 12. Rút gọn biểu thức:

A = (x2 – 5)(x + 3) + (x + 4)(x – x2) = x2.(x + 3) + (–5).(x + 3) + x.(x – x2) + 4.(x – x2)

   = x2.x + x2.3 + (–5).x + (–5).3 + x.x + x.(–x2) + 4.x + 4.(–x2)

   = x3 + 3x2 – 5x – 15 + x2 – x3 + 4x – 4x2

   = (x3 – x3) + (3x2 + x2 – 4x2) + (4x – 5x) – 15 = –x – 15.

a) Nếu x = 0 thì A = –0 – 15 = –15

b) Nếu x = 15 thì A = –15 – 15 = –30

c) Nếu x = –15 thì A = –(–15) – 15 = 15 – 15 = 0

d) Nếu x = 0,15 thì A = –0,15 – 15 = –15,15

Hướng dẫn giải.

Bài 13. Rút gọn vế trái:

VT = (12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 – 16x)

     = 12x.(4x – 1) + (–5).(4x – 1) + 3x.(1 – 16x) + (–7).(1 – 16x)

     = 12x.4x+ 12x.(–1) + (–5).4x + (–5).(–1) + 3x.1 + 3x.(–16x) + (–7).1 + (–7).(–16x)

     = 48x2 – 12x – 20x + 5 + 3x – 48x2 – 7 + 112x

     = (48x2 – 48x2) + (– 12x – 20x + 3x + 112x) + (5 – 7) = 83x – 2

Vậy ta có: 83x – 2 = 81

       83x = 81 + 2

       83x = 83

           x = 83 : 83

           x = 1.

Bài 14. Gọi 3 số chẵn liên tiếp là a, a + 2, a + 4 (a ≥ 0; a ∈ N; a là số chẵn)

Tích của hai số sau là (a + 2)(a + 4)

Tích của hai số đầu là a.(a + 2)

Theo đề bài ta có: (a + 2)(a + 4) – a(a + 2) = 192

a.(a + 4) + 2.(a + 4) – a.(a + 2) = 192

a2 + 4a + 2a + 8 – a2 – 2a = 192

(a2 – a2) + (4a + 2a – 2a) + 8 = 192

4a + 8 = 192

4a = 192 – 8

4a = 184

a = 184 : 4

a = 46.

Vậy 3 số chẵn đó là 46, 48, 50.

Bài 15.

Bài 16.

a) x2 + 2x + 1 = x2 + 2.x.1 + 12 = (x + 1)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = x và B = 1)

b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.3x.y + y2

= (3x + y)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 3x và B = y)

c) 25a2 + 4b2 – 20ab = 25a2 – 20ab + 4b2 = (5a)2 – 2.5a.2b + (2b)2

= (5a – 2b)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 5a và B = 2b)

(Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = x và  )

Bài 17. Ta có:

(10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25

Đặt A = a.(a + 1). Khi đó ta có:

Do vậy, để tính bình phương của một số tự nhiên có dạng  , ta chỉ cần tính tích a.(a + 1) rồi viết 25 vào đằng sau kết quả vừa tìm được.

Áp dụng:

252 = (10.2 + 5)2 do đó a = 2 ⇒ A = a(a + 1) = 2.3 = 6
sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 625. Vậy 252 = 625

352 = (10.3 + 5)2 do đó a = 3 ⇒ A = a(a + 1) = 3.4 = 12
sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 1225. Vậy 352 = 1225

652 = (10.6 + 5)2 do đó a = 6 ⇒ A = a(a + 1) = 6.7 = 42
sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 4225. Vậy 652 = 4225

752 = (10.7 + 5)2 do đó a = 7 ⇒ A = a(a + 1) = 7.8 = 56
sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 5625. Vậy 752 = 5625

Bài 18.

a) Dễ dàng nhận thấy đây là hằng đẳng thức (1) với A = x ;

2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.

Vậy ta có hằng đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2

hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2

b) Nhận thấy đây là hằng đẳng thức (2) với : B2 = 25y2 = (5y)2 ⇒ B = 5y

2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.

Vậy ta có hằng đẳng thức : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2

c) Đề bài tương tự: 4x2 + 4xy + ... = (... + y2)

... – 8xy + y2 = ( ...– ...)2

Bài 19. Diện tích của miếng tôn ban đầu là (a + b)2.

Diện tích của miếng tôn phải cắt là : (a – b)2.

Phần diện tích còn lại (a + b)2 – (a – b)2.

Ta có: (a + b)2 – (a – b)2 = (a2 + 2ab + b2) – ( a2 – 2ab + b2 )

= a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab

Hoặc: (a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) + (a – b)].[(a + b) – (a – b)] (Áp dụng hằng đẳng thức (3))

= 2a.2b = 4ab.

Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.

Bài 20. Kết quả trên sai.

Ta có: (x + 2y)2 = x2 + 2.x.2y + 4y2 = x2 + 4xy + 4y2 ≠ x2 + 2xy + 4y2.

Bài 21.

a) 9x2 – 6x + 1 = (3x)2 – 2.3x.1 + 12

= (3x – 1)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 3x; B = 1)

b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1 = (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y).1 + 12

= [(2x + 3y) +1]2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 2x + 3y ; B = 1)

= (2x + 3y + 1)2

c) Đề bài tương tự: Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu :

4x2 – 12x + 9

(2a + b)2 – 4.(2a + b) + 4.

Bài 22.

a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2.100 + 1 = 10000 + 200 + 1 = 10201

b) 1992 = (200 – 1)2 = 2002 – 2.200 + 1 = 40000 – 400 + 1 = 39601

c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491.

Bài 23.

+ Chứng minh (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

Ta có: VP = (a – b)2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + (4ab – 2ab) + b2

      = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = VT (đpcm)

+ Chứng minh (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab

Ta có: VP = (a + b)2 – 4ab = a2 + 2ab + b2 – 4ab = a2 + (2ab – 4ab) + b2 = a2 – 2ab + b2

      = (a – b)2 = VT (đpcm)

+ Áp dụng, tính:

a) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4.12 = 49 – 48 = 1

b) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + 4.3 = 400 + 12 = 412.

Bài 24. A = 49x2 – 70x + 25 = (7x)2 – 2.7x.5 + 52 = (7x – 5)2

a) Với x = 5: A = (7.5 – 5)2 = 302 = 900

Bài 25.

a) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2

= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

b) (a + b – c)2 = [(a + b) – c]2 = (a + b)2 – 2(a + b)c + c2

= a2 + 2ab + b2 – 2ac – 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac

c) (a – b – c)2 = [(a – b) – c]2 = (a – b)2 – 2(a – b)c + c2

= a2 – 2ab + b2 – 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac.

Hướng dẫn giải.

Bài 26.

a) (2x2 + 3y)3 = (2x2)3 + 3.(2x2)2.3y + 3.2x2.(3y)2 + (3y)3

(Áp dụng HĐT (4) với A = 2x2, B = 3y)

= 8x6 + 3.4x4.3y + 3.2x2.9y2 + 27y3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

b)

Bài 27.

a) –x3 + 3x2 – 3x + 1 = (–x)3 + 3.(–x)2.1 + 3.(–x).1 + 13

= (–x + 1)3 (Áp dụng HĐT (4) với A = –x và B = 1)

b) 8 – 12x + 6x2 – x3 = 23 – 3.22.x + 3.2.x2 – x3

= (2 – x)3 (Áp dụng HĐT (5) với A = 2 và B = x)

Bài 28.

a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = (x + 4)3

Tại x = 6, giá trị biểu thức bằng (6 + 4)3 = 103 = 1000.

b) x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3.x2.2 + 3.x.22 – 23 = (x – 2)3

Tại x = 22, giá trị biểu thức bằng (22 – 2)3 = 203 = 8000.

Bài 29. Ta có:

N x3 – 3x2 + 3x – 1 = x3 – 3.x2.1 + 3.x.12 – 13 = (x – 1)3

U 16 + 8x + x2 = 42 + 2.4.x + x2 = (4 + x)2 = (x + 4)2

H 3x2 + 3x + 1 + x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3 = (1 + x)3

 1 – 2y + y2 = 12 – 2.1.y + y2 = (1 – y)2 = (y – 1)2

Điền vào bảng như sau:

(x – 1)3	(x + 1)3	(y – 1)2	(x – 1)3	(1 + x)3	(1 – y)2	(x + 4)2
N	H	Â	N	H	Â	U

Vậy: Đức tính đáng quý là "NHÂN HẬU"

(Chú ý: Bạn có thể làm theo cách ngược lại, tức là khai triển các biểu thức (x – 1)3, (x + 1)3, (y – 1)2, (x + 4)2 … để tìm xem kết quả ứng với chữ nào và điền vào bảng.)

Bài 30.

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) = x3 + 33 – (54 + x3) (Áp dụng HĐT (6) với A = x và B = 3)

= x3 + 27 – 54 – x3 = –27

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

= (2x + y)[(2x)2 – 2x.y + y2] – (2x – y)[(2x)2 + 2x.y + y2]

= [(2x)3 + y3] – [(2x)3 – y3] = (2x)3 + y3 – (2x)3 + y3 = 2y3

Bài 31.

a) Biến đổi vế phải ta được: (a + b)3 – 3ab(a + b)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3

Vậy a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) Biến đổi vế phải ta được: (a – b)3 + 3ab(a – b)

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2 = a3 – b3

Vậy a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

– Áp dụng: Với ab = 6, a + b = –5, ta được:

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (–5)3 – 3.6.(–5) = –53 + 3.6.5 = –125 + 90 = –35

Bài 32.

a) Ta có thể nhận thấy đây là hằng đẳng thức (6).

27x3 + y3 = (3x)3 + y3 = (3x + y)[(3x)2 – 3x.y + y2] (Áp dụng HĐT (6) với A = 3x, B = y)

= (3x + y)(9x2 – 3xy + y2)

Vậy ta cần điền :

b) Ta có thể nhận thấy đây là hằng đẳng thức (7)

8x3 – 125 = (2x)3 – 53 = (2x – 5).[(2x)2 + (2x).5 + 52] (Áp dụng HĐT (7) với A = 2x, B = 5)

= (2x – 5).(4x2 + 10x + 25)

Vậy ta cần điền :

Bài 33.

a) (2 + xy)2 = 22 + 2.2.xy + (xy)2 (Áp dụng HĐT (1)) = 4 + 4xy + x2y2

b) (5 – 3x)2 = 52 – 2.5.3x + (3x)2 (Áp dụng HĐT (2)) = 25 – 30x + 9x2

c) (5 – x2)(5 + x2) = 52 – (x2)2 (Áp dụng HĐT (3)) = 25 – x4

d) (5x – 1)3 = (5x)3 – 3.(5x)2.1 + 3.5x.12 – 13 (Áp dụng HĐT (5)) = 125x3 – 75x2 + 15x – 1

e) (2x – y).(4x2 + 2xy + y2) = (2x – y).[(2x)2 + 2x.y + y2] = (2x)3 – y3 (Áp dụng HĐT (7))

= 8x3 – y3

f) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = (x + 3)(x2 – x.3 + 32) = x3 + 33 (Áp dụng HĐT (6)) = x3 + 27

Bài 34.

a) (a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) – (a – b)].[(a + b) + (a – b)] 

= [a + b - a + b].[a + b + a - b] = 2b.2a = 4ab

b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) – 2b3 (Áp dụng HĐT (4) và (5))

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 – 2b3 
= (a3 – a3) + (3a2b + 3a2b) + (3ab2 – 3ab2) + (b3 + b3 – 2b3) = 6a2b

c) (x + y + z)2 – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)2

= [(x + y + z) – (x + y)]2 (Áp dụng HĐT (2) với A = x + y + z ; B = x + y) = z2.

Bài 35.

a) 342 + 662 + 68.66 = 342 + 68.66 + 662 = 342 + 2.34.66 + 662

= (34 + 66)2 = 1002 = 10000

b) 742 + 242 – 48.74 = 742 – 48.74 + 242 = 742 – 2.74.24 + 242

= (74 – 24)2 = 502 = 2500

Bài 36.

a) x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2

Tại x = 98, giá trị biểu thức bằng (98 + 2)2 = 1002 = 10000

b) x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3.x2.1 + 3.x.12 + 13 = (x + 1)3

Tại x = 99, giá trị biểu thức bằng (99 + 1)3 = 1003 = 1000000

Bài 37. Kết quả:

Bài 38.

a) Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

(a – b)3 = [(–1)(b – a)]3 =(–1)3(b – a)3 = –1.(b – a)3 = –(b – a)3 (đpcm)

b) (–a – b)2 = [(– 1).(a + b)]2 = (–1)2(a + b)2 = 1.(a + b)2 = (a + b)2 (đpcm)

Hướng dẫn giải.

Bài 39.

a) 3x – 6y = 3.x – 3.2y (Xuất hiện nhân tử chung là 3) = 3(x – 2y)

c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy (Xuất hiện nhân tử chung 7xy)

= 7xy(2x – 3y + 4xy)

e) 10x(x – y) – 8y(y – x) 

(Nhận thấy x – y = –(y – x) nên ta đổi y – x về x – y)

= 10x(x – y) – 8y[–(x – y)] = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y

(Xuất hiện nhân tử chung 2(x – y))

= 2(x – y)(5x + 4y)

* Lưu ý: Nhiều khi, để xuất hiện nhân tử chung, ta cần biến đổi A = –(–A)

Bài 40.

a) 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.10.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5 = 15(91,5 + 8,5)

= 15.100 = 1500

b) x(x – 1) – y(1 – x) = x(x – 1) – y[–(x – 1)] = x(x – 1) + y(x – 1) = (x – 1)(x + y)

Tại x = 2001, y = 1999, giá trị biểu thức bằng:

(2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000

Bài 41.

a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0 ⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

(Có x – 2000 là nhân tử chung)

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0 ⇔ x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0

+ x – 2000 = 0 ⇔ x = 2000

+ 5x – 1 = 0 ⇔ 5x = 1 ⇔ x = 1/5.

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn là x = 2000 và x = 1/5.

b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x.x2 – x.13 = 0 (Có nhân tử chung x)

⇔ x(x2 – 13) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x2 – 13 = 0

+ x2 – 13 = 0 ⇔ x2 = 13 ⇔ x = √13 hoặc x = –√13

Vậy có ba giá trị của x thỏa mãn là x = 0, x = √13 và x = –√13.

Bài 42. Có : 55n + 1 – 55n = 55n.55 – 55n = 55n(55 – 1) = 55n.54

Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 luôn chia hết cho 54 với mọi số tự nhiên n.

Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54.

Bài 43.

a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 (Xuất hiện hằng đẳng thức (1)) = (x + 3)2

b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(25 – 10x + x2) = –(52 – 2.5.x + x2)

(Xuất hiện hằng đẳng thức (2) trong ngoặc)

= –(5 – x)2

Bài 44.

b) (a + b)3 – (a – b)3 (Xuất hiện hằng đẳng thức (7))

= [(a + b) – (a – b)][(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2]

= (a + b – a + b)(a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2) = 2b.(3a2+ b2)

c) (a + b)3 + (a – b)3 (Xuất hiện hằng đẳng thức (6))

= [(a + b) + (a – b)][(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2]

= [(a + b) + (a – b)][(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)]

= (a + b + a – b)(a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2) = 2a.(a2 + 3b2)

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 (Xuất hiện hằng đẳng thức (4))

= (2x + y)3

e) –x3 + 9x2 – 27x + 27 = (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 (Xuất hiện Hằng đẳng thức (4))

= (–x + 3)3 = (3 – x)3

Bài 45.

a) Cách 1:

Cách 2: 2 – 25x2 = 0 ⇔ (√2)2 – (5x)2 = 0 (Xuất hiện hằng đẳng thức (3))

⇔ (√2 – 5x)(√2 + 5x) = 0 ⇔√2 – 5x = 0 hoặc √2 + 5x = 0

+ √2 – 5x = 0 ⇔ 5x = √2 ⇔ x = √2/5

+ √2 + 5x = 0 ⇔ 5x = –√2 ⇔ x = –√2/5

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn là 

Bài 46.

a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài 47.

a) Cách 1: Nhóm hai hạng tử thứ 1 và thứ 2, hạng tử thứ 3 và thứ 4

x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) (Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là x)

= x(x – y) + (x – y) (Xuất hiện nhân tử chung x – y)

= (x + 1)(x – y)

Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và thứ 4

x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)
(nhóm thứ nhất có nhân tử chung là x ; nhóm thứ hai có nhân tử chung là y)

= x.(x + 1) – y.(x + 1) (Xuất hiện nhân tử chung x + 1)

= (x – y)(x + 1)

b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y)

(Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là z ; nhóm thứ hai có nhân tử chung là 5)

= z(x + y) – 5(x + y) (Xuất hiện nhân tử chung là x + y)

= (z – 5)(x + y)

c) Cách 1: Nhóm hai hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau:

3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y)

(Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là 3x ; nhóm thứ hai có nhân tử chung là 5)

= 3x(x – y) – 5(x – y) (Xuất hiện nhân tử chung là (x – y))

= (x – y)(3x – 5)

Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4:

3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y)

(Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là x, nhóm thứ hai có nhân tử chung là y)

= x.(3x – 5) – y.(3x – 5) (Xuất hiện nhân tử chung 3x – 5)

= (x – y).(3x – 5).

Bài 48.

a) Nhận thấy x2 + 4x + 4 là hằng đẳng thức nên ta nhóm với nhau.

x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 (Xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 = 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)

(Nhận thấy xuất hiện x2 + 2xy + y2 là hằng đẳng thức nên ta nhóm với nhau)

= 3[(x2 + 2xy + y2) – z2] = 3[(x + y)2 – z2] = 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2

(Nhận thấy x2 – 2xy + y2 và z2 – 2zt + t2 là các hằng đẳng thức)

= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) = (x – y)2 – (z – t)2 (xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= [(x – y) – (z – t)][(x – y) + (z – t)] = (x – y – z + t)(x – y + z –t)

Bài 49.

a) 37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7.5 + 3,5.37,5

(Hạng tử đầu tiên và cuối cùng đều có nhân tử 37,5; hai hạng tử giữa đều có nhân tử 7,5)

= (37,5.6,5 + 3,5.37,5) – (7,5.3,4 + 6,6.7,5) = 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)

= 37,5.10 – 7,5.10 = 375 – 75 = 300

b) 452 + 402 – 152 + 80.45 = 452 + 80.45 + 402 – 152 = 452 + 2.45.40 + 402 – 152

= (45 + 40)2 – 152 = 852 – 152 = (85 – 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000

Bài 50.

a) x(x – 2) + x – 2 = 0 (Xuất hiện nhân tử chung x – 2)

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ x – 2 = 0 hoặc x + 1 = 0

+ x – 2 = 0 ⇔ x = 2

+ x + 1 = 0 ⇔ x = –1

Vậy x = – 1 hoặc x = 2.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 ⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0 (Xuất hiện nhân tử chung x – 3)

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0 ⇔ x – 3 = 0 hoặc 5x – 1= 0

+ x – 3 = 0 ⇔ x = 3

+ 5x – 1 = 0 ⇔ 5x = 1 ⇔ x = 1/5

Vậy x = 3 hoặc x = 1/5.

Bài 51.

a) x3 – 2x2 + x = x.x2 – x.2x + x (Xuất hiện nhân tử chung là x)

= x(x2 – 2x + 1) (Xuất hiện hằng đẳng thức (2))

= x(x – 1)2

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 (có nhân tử chung là 2)

= 2.(x2 + 2x + 1 – y2) (Xuất hiện x2 + 2x + 1 là hằng đẳng thức)

= 2[(x2 + 2x + 1) – y2] = 2[(x + 1)2 – y2] (Xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2 – y2 + 16 (Có 2xy ; x2 ; y2, ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))

= 16 – (x2 – 2xy + y2) = 42 – (x – y)2 (xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= [4 – (x – y)][4 + (x - y)] = (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52. Ta có:

(5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2) = 5n(5n + 4)

Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết cho 5 với n ∈ Ζ

Bài 53.

Cách 1: Tách một hạng tử thành tổng hai hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 (Tách –3x = – x – 2x)

= (x2 – x) – (2x – 2) = x(x – 1) – 2(x – 1) (Có x – 1 là nhân tử chung)

= (x – 1)(x – 2)

Hoặc: x2 – 3x + 2 = x2 – 3x – 4 + 6 (Tách 2 = – 4 + 6)

= x2 – 4 – 3x + 6 = (x2 – 22) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) (Xuất hiện nhân tử chung x – 2)

= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)

b) x2 + x – 6 = x2 + 3x – 2x – 6 (Tách x = 3x – 2x)

= x(x + 3) – 2(x + 3) (có x + 3 là nhân tử chung)

= (x + 3)(x – 2)

c) x2 + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x) = x2 + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2) (Có x + 2 là nhân tử chung) = (x + 2)(x + 3)

Cách 2: Đưa về hằng đẳng thức (1) hoặc (2)

a) x2 – 3x + 2

(Vì có x2 và  nên ta thêm bớt  để xuất hiện HĐT)

= (x – 2)(x – 1)

b) x2 + x - 6

= (x – 2)(x + 3).

c) x2 + 5x + 6

= (x + 2)(x + 3).

Hướng dẫn giải.

Bài 54.

a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x (Có x là nhân tử chung)

= x(x2 + 2xy + y2 – 9) (Có x2 + 2xy + y2 là hằng đẳng thức)

= x[(x2 + 2xy + y2) – 9] = x[(x + y)2 – 32] (Xuất hiện hằng đẳng thức (3)]

= x(x + y – 3)(x + y + 3)

b) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 (Có x2 ; 2xy ; y2 ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))

= (2x – 2y) – (x2 – 2xy + y2) = 2(x – y) – (x – y)2 (Có x – y là nhân tử chung)

= (x – y)[2 – (x – y)] = (x – y)(2 – x + y)

c) x4 – 2x2 (Có x2 là nhân tử chung) = x2(x2 – 2)

Bài 55.

b) Có: (2x – 1)2 – (x + 3)2 (xuất hiện HĐT (3))

= [(2x – 1) – (x + 3)][(2x – 1) + (x + 3)] = (2x – 1 – x – 3).(2x – 1 + x + 3) = (x – 4)(3x + 2)

Vậy (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0 ⇔ (x – 4)(3x + 2) = 0

⇔ x – 4 = 0 hoặc 3x + 2 = 0 ⇔ x = 4 hoặc x = –2/3

Vậy x = 4 hoặc x = –2/3.

c) Có: x2(x – 3) + 12 – 4x = x2(x – 3) – 4.(x – 3) (Có nhân tử chung là x – 3)

= (x2 – 4)(x – 3) = (x2 – 22).(x – 3) (Xuất hiện HĐT (3)) = (x – 2)(x + 2)(x – 3)

Vậy x2(x – 3) + 12 – 4x = 0 ⇔ (x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0

⇔ x – 2 = 0 hoặc x + 2 = 0 hoặc x – 3 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = –2 hoặc x = 3.

Vậy x = 2 hoặc x = –2 hoặc x = 3.

Bài 56.

a) Ta có:

Do đó tại x = 49,75, giá trị biểu thức bằng 

b) Ta có: x2 – y2 – 2y – 1 (Thấy có y2 ; 2y ; 1 ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))

= x2 – (y2 + 2y + 1) = x2 – (y + 1)2 (Xuất hiện HĐT (3)) = (x – y – 1)(x + y + 1)

Với x = 93, y = 6 thì: (93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600

Bài 57.

a) Cách 1: x2 – 4x + 3 = x2 – x – 3x + 3 (Tách –4x = –x – 3x)

= x(x – 1) – 3(x – 1) (Có x – 1 là nhân tử chung) = (x – 1)(x – 3)

Cách 2: x2 – 4x + 3 = x2 – 2.x.2 + 22 + 3 – 22 (Thêm bớt 22 để có HĐT (2))

= (x – 2)2 – 1 (Xuất hiện HĐT (3)) = (x – 2 – 1)(x – 2 + 1) = (x – 3)(x – 1)

b) x2 + 5x + 4 = x2 + x + 4x + 4 (Tách 5x = x + 4x)

= x(x + 1) + 4(x + 1) (có x + 1 là nhân tử chung) = (x + 1)(x + 4)

c) x2 – x – 6 = x2 + 2x – 3x – 6 (Tách –x = 2x – 3x) 

= x(x + 2) – 3(x + 2) (có x + 2 là nhân tử chung) = (x – 3)(x + 2)

d) x4 + 4 = (x2)2 + 22 = x4 + 2.x2.2 + 4 – 4x2 (Thêm bớt 2.x2.2 để có HĐT (1))

= (x2 + 2)2 – (2x)2 (Xuất hiện HĐT (3)) = (x2 + 2 – 2x)(x2 + 2 + 2x)

Bài 58. A = n3 – n (có nhân tử chung n)

= n(n2 – 1) (Xuất hiện HĐT (3)) = n(n – 1)(n + 1)

n – 1; n và n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên

+ Trong đó có ít nhất một số chẵn ⇒ (n – 1).n.(n + 1) ⋮ 2

+ Trong đó có ít nhất một số chia hết cho 3 ⇒ (n – 1).n.(n + 1) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 2 và A ⋮ 3 nên A ⋮ 6.

Bài 59.

Bài 60.

a) x10 : (-x)8 = x10 : x8 = x10 – 8 = x2 Vì (-x)8 = (-1.x)8 = (-1)8.x8 = x8

b) (-x)5 : (-x)3 = (-x)5 – 3 = (-x)2 = x2 Vì (-x)2 = (-1.x)2 = (-1)2.x2 = x2

c) (-y)5 : (-y)4 = (-y)5 – 4 = (–y)1 = - y

Bài 61.

a) 5x2y4 : 10x2y = (5 : 10).(x2 : x2).(y4 : y) (Chia hệ số cho hệ số, chia lũy thừa của từng biến)

(Chia hệ số cho hệ số, chia lũy thừa của từng biến)

c) (–xy)10 : (–xy)5 = (–xy)10 – 5 = (–xy)5

Bài 62. Ta có : 15x4y3z2 : 5xy2z2 = (15 : 5).(x4 : x).(y3 : y2).(z2 : z2)
= 3.x4 – 1.y3 – 2 . 1 = 3x3y

Tại x = 2 ; y = –10 và z = 2004, giá trị biểu thức bằng : 3.23.(–10) = –240.

Bài 63. Nhận thấy:

15xy2 chia hết cho 6y2

17xy3 chia hết cho 6y2

18y2 chia hết cho 6y2

Vậy A = 15xy2 + 17xy3 + 18y2 chia hết cho 6y2 hay A chia hết cho B.

Bài 64.

a) (–2x5 + 3x2 – 4x3) : 2x2 = (–2x5) : 2x2 + 3x2 : 2x2 + (–4x3) : 2x2

= [(–2) : 2].(x5 : x2) + (3 : 2).(x2 : x2) + [(–4) : 2].(x3 : x2)

= 

c) (3x2y2 + 6x2y3 – 12xy) : 3xy = (3x2y2 : 3xy) + (6x2y3 : 3xy) + ( –12xy : 3xy)

= (3 : 3).(x2 : x).(y2 : y) + (6 : 3).(x2 : x).(y3 : y) + (–12 : 3).(x : x).(y : y)

= 1.x.y + 2.xy2 + (–4).1.1 = xy + 2xy2 – 4

Bài 65. Ta có : (y – x)2 = [–(x – y)2] = (x – y)2.

Đặt x – y = z, Khi đó biểu thức trở thành : (3z4 + 2z3 – 5z2) : z2

= 3z4 : z2 + 2z3 : z2 + (–5z2) : z2 = 3.(z4 : z2) + 2.(z3 : z2) + (–5).(z2 : z2)

= 3.z2 + 2.z + (–5).1 = 3z2 + 2z – 5

Thay trả lại z = x – y ta được kết quả biểu thức bằng : 3(x – y)2 + 2(x – y) – 5.

Bài 66. Lời giải của bạn Hà sai, lời giải của bạn Quang đúng.

Vì 5x4 chia hết cho 2x2;

–4x3 chia hết cho 2x2;

6x2y chia hết cho 2x2

Do đó A = 5x4 – 4x3 + 6x2y chia hết cho 2x2 hay A chia hết cho B.

Chú ý: Đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu tìm được đơn thức Q sao cho A=B.Q

Ví dụ : Cho hai đơn thức A= 2x2y3; B = 7xy

Khi đó với đơn thức  thì A=B.Q

Do đó, đơn thức A chia hết cho đơn thức B.

Bài 67.

a) x3 – 7x + 3 – x2 = x3 – x2 – 7x + 3

Thực hiện phép chia:

Vậy (x3 – x2 – 7x + 3) : (x – 3) = x2 + 2x – 1

b) 2x4 – 3x3 – 3x2 – 2 + 6x = 2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2

Thực hiện phép chia:

Vậy (2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2) : (x2 – 2) = 2x2 – 3x + 1.

Bài 68.

a) (x2 + 2xy + y2) : (x + y) = (x + y)2 : (x + y) = x + y

b) (125x3 + 1) : (5x + 1) = [(5x)3 + 1] : (5x + 1) = (5x + 1)[(5x)2 – 5x + 1]] : (5x + 1)

= (5x)2 – 5x + 1 = 25x2 – 5x + 1

c) (x2 – 2xy + y2) : (y – x) = (x – y)2 : [-(x – y)] = -(x – y) = y – x

Hoặc (x2 – 2xy + y2) : (y – x) = (y2 – 2yx + x2) : (y – x) = (y – x)2 : (y – x) = y – x

Bài 69. Thực hiện phép chia ta có:

Vậy 3x4 + x3 + 6x – 5 = (x2 + 1).(3x2 + x – 3) + 5x – 2.

Hướng dẫn giải.

 Bài 70.

a) (25x5 – 5x4 + 10x2) : 5x2 = 25x5 : 5x2 + (-5x4) : 5x2 + 10x2 : 5x2

= (25 : 5).(x5 : x2) + (-5 : 5).(x4 : x2) + (10 : 5).(x2 : x2) = 5.x5 – 2 + (-1).x4 – 2 + 2.1

= 5x3 – x2 + 2

b) (15x3y2 – 6x2y – 3x2y2) : 6x2y = (15x3y2 : 6x2y) + (-6x2y) : 6x2y + (-3x2y2) : 6x2y

= (15 : 6).(x3 : x2).(y2 : y) + (-6 : 6).(x2 : x2).(y : y) + (-3 : 6).(x2 : x2).(y2 : y)

 Bài 71.

Do đó A = 15x4 - 8x3 + x2 chia hết cho  hay A chia hết cho B.

b) A = x2 - 2x + 1 = (x – 1)2

Vậy A chia hết cho x – 1 hay A chia hết cho B.

 Bài 72. Thực hiện phép chia:

Vậy (2x4 + x3 – 3x2 + 5x – 2) : (x2 – x + 1) = 2x2 + 3x - 2

 Bài 73.

a) (4x2 – 9y2) : (2x – 3y) (Sử dụng HĐT để phân tích số bị chia thành tích)

= [(2x)2 – (3y)2] : (2x – 3y) (Xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= (2x – 3y)(2x + 3y) : (2x – 3y) = 2x + 3y.

b) (27x3 – 1) : (3x – 1) (Sử dụng HĐT để phân tích số bị chia thành tích)

= [(3x)3 – 1] : (3x – 1) (Xuất hiện hằng đẳng thức (7))

= (3x – 1).[(3x)2 + 3x.1 + 12] : (3x – 1) = (3x – 1).(9x2 + 3x + 1) : (3x – 1)

= 9x2 + 3x + 1

c) (8x3 + 1) : (4x2 – 2x + 1) (Sử dụng HĐT để phân tích số bị chia thành tích)

= [(2x)3 + 1] : (4x2 – 2x + 1) (Xuất hiện HĐT (6))

= (2x + 1).[(2x)2 - 2x.1 + 12] : (4x2 – 2x + 1) = (2x + 1).(4x2 - 2x + 1) : (4x2 – 2x + 1)

= 2x + 1.

d) (x2 – 3x + xy – 3y) : (x + y) (Nhóm hạng tử để phân tích số bị chia thành tích)

= [(x2 – 3x) + (xy – 3y)] : (x + y) = [x.(x – 3) + y.(x – 3)] : (x + y)

= (x + y).(x – 3) : (x + y) = x – 3.

 Bài 74.

Cách 1: Thực hiện phép chia:

2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho x + 2 ⇔ số dư = a – 30 = 0 ⇔ a = 30.

Cách 2: Phân tích 2x3 – 3x2 + x + a thành nhân tử có chứa x + 2.

2x3 – 3x2 + x + a = 2x3 + 4x2 – 7x2 – 14x + 15x + 30 + a – 30

(Tách -3x2 = 4x2 – 7x2; x = -14x + 15x)

= 2x2(x + 2) – 7x(x + 2) + 15(x + 2) + a – 30 = (2x2 – 7x + 15)(x + 2) + a – 30

2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho x + 2 ⇔ a – 30 = 0 ⇔ a = 30.

 Bài 75.

a) 5x2.(3x2 – 7x + 2) = 5x2.3x2 + 5x2.(-7x) + 5x2.2 = (5.3).(x2.x2) + [5.(-7)].(x2.x) + (5.2).x2

= 15x2 + 2 + (-35).x2 + 1 + 10.x2 = 15x4 – 35x3 + 10x2

 Bài 76.

a) (2x2 – 3x)(5x2 – 2x + 1) = 2x2(5x2 – 2x + 1) + (-3x)(5x2 – 2x + 1)

= 2x2.5x2 + 2x2.(-2x) + 2x2.1 + (–3x).5x2 + (-3x).(-2x) + (-3x).1

= (2.5)(x2.x2) + (2. (-2)).(x2.x) + 2x2 + [(-3).5].(x.x2) + [(-3).(-2).(x.x) + (-3x)

= 10x4 – 4x3 + 2x2 – 15x3 + 6x2 – 3x = 10x4 – (4x3 + 15x3) + (2x2 + 6x2) – 3x

= 10x4 – 19x3 + 8x2 – 3x

b) (x – 2y)(3xy + 5y2 + x) = x.(3xy + 5y2 + x) + (-2y).(3xy + 5y2 + x)

= x.3xy + x.5y2 + x.x + (-2y).3xy + (–2y).5y2 + (–2y).x

= 3x2y + 5xy2 + x2 – 6xy2 – 10y3 – 2xy = 3x2y + (5xy2 – 6xy2) + x2 – 10y3 – 2xy

= 3x2y – xy2 + x2 – 10y3 – 2xy

 Bài 77.

a) M = x2 + 4y2 – 4xy = x2 – 2.x.2y + (2y)2 (Hằng đẳng thức (2)) = (x – 2y)2

Thay x = 18, y = 4 ta được:     M = (18 – 2.4)2 = 102 = 100

b) N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 = (2x)3 – 3(2x)2y + 3.2xy2 – y3 (Hằng đẳng thức (5))

= (2x – y)3

Thay x = 6, y = - 8 ta được:     N = (2.6 – (-8))3 = 203 = 8000

 Bài 78.

a) (x + 2)(x – 2) – (x – 3)(x + 1) = x2 – 22 – (x2 + x – 3x – 3)

= x2 – 4 – x2 – x + 3x + 3 = 2x – 1

b) (2x + 1)2 + (3x – 1)2 + 2(2x + 1)(3x – 1) = (2x + 1)2 + 2.(2x + 1)(3x – 1) + (3x – 1)2

= [(2x + 1) + (3x – 1)]2 = (2x + 1 + 3x – 1)2 = (5x)2 = 25x2

 Bài 79.

a) Cách 1: x2 – 4 + (x – 2)2 (Xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= (x2– 22) + (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) + (x – 2)2 (Có nhân tử chung x – 2)

= (x – 2)[(x + 2) + (x – 2)] = (x – 2)(x + 2 + x – 2) = (x – 2)(2x) = 2x(x – 2)

Cách 2: x2 – 4 + (x – 2)2 (Khai triển hằng đẳng thức (2))

= x2 – 4 + (x2 – 2.x.2 + 22) = x2 – 4 + x2 – 4x + 4 = 2x2 – 4x (Có nhân tử chung là 2x)

= 2x(x – 2)

b) x3 – 2x2 + x – xy2 (Có nhân tử chung x)

= x(x2 – 2x + 1 – y2) (Có x2 – 2x + 1 là hằng đẳng thức).

= x[(x – 1)2 – y2] (Xuất hiện hằng đẳng thức (3)) = x(x – 1 + y)(x – 1 – y)

c) x3 – 4x2 – 12x + 27 (Nhóm để xuất hiện nhân tử chung)

= (x3 + 27) – (4x2 + 12x) = (x3 + 33) – (4x2 + 12x)

(nhóm 1 là HĐT, nhóm 2 có 4x là nhân tử chung)

= (x + 3)(x2 – 3x + 9) – 4x(x + 3) = (x + 3)(x2 – 3x + 9 – 4x) = (x + 3)(x2 – 7x + 9)

 Bài 80.

a) Cách 1: Thực hiện phép chia

Vậy (6x3 – 7x2 – x + 2) : (2x + 1) = 3x2 – 5x + 2

Cách 2: Phân tích 6x3 – 7x2 – x + 2 thành (2x + 1).P(x) + R(x)

6x3 – 7x2 – x + 2 = 6x3 + 3x2 – 10x2 – 5x + 4x + 2 (Tách -7x2 = 3x2 – 10x2; -x = -5x + 4x)

= 3x2.(2x + 1) – 5x.(2x + 1) + 2.(2x + 1) = (3x2 – 5x + 2)(2x + 1)

Vậy (6x3 – 7x2 – x + 2) : (2x + 1) = 3x2 – 5x + 2

Giải thích cách tách:

Vì có 6x3 nên ta cần thêm 3x2 để có thể phân tích thành 3x2(2x + 1). Do đó ta tách -7x2 = 3x2 – 10x2.

Lại có -10x2 nên ta cần thêm -5x để có thể phân tích thành -5x(2x + 1). Do đó ta tách –x = -5x + 4x.
Có 4x, ta cần thêm 2 để có 2.(2x + 1) nên 2 không cần phải tách.

b)

Cách 1: Thực hiện phép chia

Vậy (x4 – x3 + x2 + 3x) : (x2 – 2x + 3) = x2 + x

Cách 2: Phân tích x4 – x3 + x2 + 3x thành nhân tử có chứa x2 + x

x4 – x3 + x2 + 3x = x.(x3 – x2 + x + 3) = x.(x3 – 2x2 + 3x + x2 – 2x + 3)

= x.[x.(x2 – 2x + 3) + (x2 – 2x + 3)] = x.(x + 1)(x2 – 2x + 3)

Vậy (x4 – x3 + x2 + 3x) : (x2 – 2x + 3) = x(x + 1)

c) Phân tích số bị chia thành nhân tử, trong đó có nhân tử là số chia.

(x2 – y2 + 6x + 9) : (x + y + 3) (Có x2 + 6x + 9 là hằng đẳng thức)

= (x2 + 6x + 9 – y2) : (x + y + 3) = [(x2 + 2.x.3 + 32) – y2] : (x + y + 3)

= [(x + 3)2 – y2] : (x + y + 3) (Xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= (x + 3 + y)(x + 3 – y) : (x + y + 3) = x + 3 – y = x – y + 3

 Bài 81.

(Xuất hiện hằng đẳng thức (3))

⇔ x = 0 hoặc x – 2 = 0 hoặc x + 2 = 0

+ x – 2 = 0 ⇔ x = 2

+ x + 2 = 0 ⇔ x = -2

Vậy x = 0; x = -2; x = 2

b) (x + 2)2 – (x – 2)(x + 2) = 0 (Có x + 2 là nhân tử chung)

⇔ (x + 2)[(x + 2) – (x – 2)] = 0 ⇔ (x + 2)(x + 2 – x + 2) = 0

⇔ (x + 2).4 = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = - 2

Vậy x = -2

 Bài 82.

a) Ta có: x2 – 2xy + y2 + 1 = (x2 – 2xy + y2) + 1 = (x – y)2 + 1.

(x – y)2 ≥ 0 với mọi x, y ∈ R

⇒ x2 – 2xy + y2 + 1 = (x – y)2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0 với mọi x, y ∈ R (ĐPCM).

b) Ta có:

Ta có:  với mọi số thực x

⇒  với mọi số thực x

⇒  với mọi số thực (ĐPCM)

 Bài 83.

Cách 1: Thực hiện phép chia 2n2 – n + 2 cho 2n + 1 ta có:

2n2 – n + 2 chia hết cho 2n + 1 ⇔ 3 ⋮ (2n + 1) hay (2n + 1) ∈ Ư(3) ⇔ 2n + 1 ∈ {±1; ±3}

   + 2n + 1 = 1 ⇔ 2n = 0 ⇔ n = 0

   + 2n + 1 = -1 ⇔ 2n = -2 ⇔ n = -1

   + 2n + 1 = 3 ⇔ 2n = 2 ⇔ n = 1

   + 2n + 1 = -3 ⇔ 2n = -4 ⇔ n = -2.

Vậy n ∈ {-2; -1; 0; 1.}

Cách 2:

Ta có:

2n2 – n + 2 chia hết cho 2n + 1

⇔ 2n + 1 ∈ Ư(3) = {±1; ± 3}.

   + 2n + 1 = 1 ⇔ 2n = 0 ⇔ n = 0

   + 2n + 1 = -1 ⇔ 2n = -2 ⇔ n = -1

   + 2n + 1 = 3 ⇔ 2n = 2 ⇔ n = 1

   + 2n + 1 = -3 ⇔ 2n = -4 ⇔ n = -2.

Vậy n ∈ {-2; -1; 0; 1.}

Chú ý: Đa thức A chia hết cho đa thức B khi phần dư của phép chia bằng 0.