[ĐS7] HÀM SỐ - &01. Hàm số và đồ thị

Hướng dẫn giải.

Bài 1. Hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau nên ta có công thức tổng quát y = k.x

a) Với x = 6 , y = 4 ta có 4 = k . 6

Vậy hệ số tỉ lệ của y đối với x là  .

b) Với k =  ta có y = x.

c) Từ y = x ta có :

Với x = 9 thì y = .9 = 6, với x = 15 thì y = .15 = 10.

Bài 2. x và y tỉ lệ thuận nên y = k.x

Khi x = 2 thì y = -4 nên ta có 

Vậy y tỉ lệ thuận với x theo tỉ số -2, hay y = -2.x

Từ đó :

Với x = -3 thì y = (-2).(-3) = 6.

Với x = -1 thì y = (-2).(-1) =2

Với x = 1 thì y = (-2).1 = -2

Với x= 5 thì y = (-2).5 = -10

Vậy ta có bảng sau :

x	-3	-1	1	2	5
y	6	2	-2	-4	-10

Bài 3. 
a) Ta có bảng sau

V	1	2	3	4	5
m	7,8	15,6	23,4	31,2	39
	7,8	7,8	7,8	7,8	7,8

b) Vì  = 7,8 nên m =7,8V

Vậy m và V là hai đại lượng tỉ lệ thuận

Bài 4. z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k nên ta có z = k.y

y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ h nên ta có y = h.x

Do đó z = k.y = k.(h.x) = (k.h).x

Vậy z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.h

Bài 5.

a) Ta có

⇒ y = 9x

Vậy x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận

b) Ta có

Do đó, hai đại lượng x và y không tỉ lệ thuận với nhau.

Bài 6.

a) Vì khối lượng của cuộn dây thép tỉ lệ thuận với chiều dài nên y = k . x

Theo đề bài ta có y = 25 g thì x = 1 m

Thay vào công thức ta được 25 = k . 1 ⇒ k =25

Vậy y = 25x

b) Vì y = 25x nên khi y = 4,5kg = 4500g ⇒ x = 4500 :25 = 180(m)

Vậy cuộn dây dài 180m.

Hướng dẫn giải.

Bài 7. Vì khối lượng đường y(kg) tỉ lệ thuận với khối lượng dâu x(kg) nên ta có y = kx

Theo điều kiện đề bài x = 2 thì y = 3 suy ra 3 = k.2 hay 

Vậy khi làm 2,5kg dâu thì cần 3,75kg đường, tức là Hạnh nói đúng.

Bài 8. Gọi số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (cây)

Số cây xanh tỉ lệ với số học sinh nghĩa là x : y : z = 32 : 28 : 36, hay 

Tổng số cây xanh phải chăm sóc là 24 cây nghĩa là x + y + z = 24.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

Vậy số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự 8, 7, 9 (cây)

Bài 9. Gọi khối lượng của niken , kẽm ,đồng lần luợt là x ,y ,z (kg)

Khối lượng các chất lần lượt tỉ lệ với 3, 4 và 13 nghĩa là x:y:z = 3:4:13, hay  .

Khối lượng đồng bạch cần 150kg nghĩa là x+y+z = 150.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có  .

Do đó x = 7,5 .3 = 22,5(kg)

y = 7,5 .4 = 30 (kg)

z =7,5.13 = 97,5 (kg)

Vậy khối lượng của niken, kẽm, đồng theo thứ tự là 22,5kg; 30kg; 97,5kg

Bài 10. Gọi chiều dài của các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2 ,3 ,4 (cm) lần lượt là x ,y ,z

Các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4 nghĩa là x : 2 = y : 3 = z : 4, hay 

Chu vi tam giác bằng 45 nghĩa là x + y+ z = 45

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 

Do đó x = 5.2 = 10 ; y = 5.3 = 15 ; z = 5.4 = 20

Vậy các cạnh của tam giác là 10cm ; 15cm ; 20cm

Bài 11. Ta biết rằng 1 giờ = 60 phút = 3600 giây

Kim giờ đi được 1 giờ thì kim phút quay được 1 vòng và kim giây quay được 60 vòng trên mặt đồng hồ.

Kim giờ quay được 1 vòng nghĩa là đi hết 12 giờ, vậy khi đó kim phút quay được 1.12 = 12 (vòng) và kim giây quay được 60.12 = 720 (vòng).

Bài 12.

a) x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo tỉ số a

Khi đó ta có  hay x.y = a.

Theo đề bài x=8 thì y =15 nên a = x.y = 8.15 =120

Vậy y và x tỉ lệ nghịch theo hệ số 120.

b)Biểu diễn y theo x : 

c)Khi x = 6 thì  .

Khi x= 10 thì 

Bài 13. Gọi hệ số tỉ lệ của x và y là a, nghĩa là  hay x.y = a.

Ta có x = 4 thì y = 1,5 nên suy ra a = x.y = 4.1,5 = 6.

Vậy x.y = 6.

Khi x = 0,5 thì y = 6 : 0,5 = 12.

Khi x = -1,2 thì y = 6 : (-1,2) = -5

Khi y = 3 thì x = 6 : 3 =2

Khi y = -2 thì x = 6 : (-2) = -3.

Khi x = 6 thì y = 6 : 6 = 1.

Vậy ta có bảng sau :

x	0,5	-1,2	2	-3	4	6
y	12	-5	3	-2	1,5	1

Bài 14. Vì năng suất làm việc của mỗi người là như nhau nên số công nhân và số ngày xây xong ngôi nhà là hai đại lượng tỉ lệ nghịch .

Gọi số công nhân là y (công nhân); số ngày xây xong ngôi nhà là x (ngày)

Ta có x.y = a

Khi y = 35 thì x = 168 nên ta có a = 35.168 = 5880.

Do đó x.y = 5880.

Vậy khi y = 28 thì x = 5880 : 28 =210.

Vậy 28 công nhân xây ngôi nhà đó hết 210 ngày.

Bài 15.

a) Tích xy là hằng số ( diện tích cánh đồng ) nên x và y tỉ lệ nghịch với nhau

b) Tổng x + y là hằng số (tổng số trang của quyển sách ) nên x và y không tỉ lệ nghịch với nhau.

c) Tích ab là hằng số (chiều dài đoạn đường từ A đến B ) nên a và b tỉ lệ nghịch với nhau.

Hướng dẫn giải.

Bài 16.

a) Ta có 1.120 = 2. 60 = 4.30 = 5.24 = 8.15 = 120.

Nên x và y là đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

b) Vì 5.12,5 ≠ 6.10 nên x và y không tỉ lệ nghịch với nhau.

Bài 17. Nhìn vào bảng ta thấy khi x = 10 thì y = 1,6. Do đó hệ số tỉ lệ a = 10.1,6 = 16.

Vậy x.y = 16.

Do đó khi x = 1 thì y = 16 : 1 = 16

Khi y = 8 thì x = 16 : 8 = 2

Khi y = -4 thì x = 16: (-4) = -4

Khi x = -8 thì y = 16 : (-8) = -2.

Từ đó ta có bảng sau :

x	1	2	-4	6	-8	10
y	16	8	-4		-2	1,6

Bài 18. Với cùng một cánh đồng nên số người làm cỏ hết cánh đồng đó và số giờ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Hệ số tỉ lệ bằng 3.6 = 18.

Gọi số giờ để 12 người làm cỏ hết cánh đồng là x (giờ)

Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch ta có x.12 = 18 suy ra x = 1,5.

Vậy 12 người làm cỏ cánh đồng hết 1,5 giờ (1 giờ 30 phút)

Bài 19. Gọi giá tiền 1 mét vải loại I là x1; giá tiền 1m vải loại II là x2.

Với cùng một số tiền, số mét vải loại I và loại II mua được tương ứng là y1; y2 (m).

Theo đề bài có: y1 = 51; x2 = 85%.x1 = 0,85.x1.

Với cùng một số tiền thì giá tiền 1 mét vải và số vải mua được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

Vậy với cùng số tiền đó ta có thể mua được 60m vải loại II.

Bài 20. Gọi vận tốc của voi, sư tử, chó săn, ngựa lần lượt là vvoi; vst; vcs; vngua (m/s).

Thời gian chạy tương ứng là tvoi; tst; tcs; tngua (giây).

Theo đề bài, vận tốc của voi, sư tử, chó săn, ngựa lần lượt tỉ lệ với 1; 1,5; 1,6; 2 nghĩa là:

Thời gian voi chạy hết 12 giây nên tvoi = 12 giây

Trên cùng một quãng đường 100m thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

Vậy thời gian cả đội chạy hết quãng đường 4.100m là: 12 + 8 + 7,5 + 6 = 33,5 < 39.

Vậy đội đã phá được kỉ lục 39 giây.

Bài 21. Gọi số máy của ba đội theo thứ tự là :x1,x2,x3 (máy)

Theo đề bài ta có : x1-x2=2

Vì các máy có cùng năng suất nên số máy và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Do đó ta có :4x1 = 6x2 = 8x3 hay 

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Số máy của ba đội theo thứ tự là 6 ; 4 ; 3 (máy )

Bài 22. Bánh thứ 1 có 20 răng quay với vận tốc 60 vòng/phút.

Bánh thứ 2 có x răng quay với vận tốc y vòng/phút.

Vì số răng cưa của bánh và tốc độ quay là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

x.y = 20.60 = 1200 hay 

Bài 23. Bánh xe lớn có bán kính r1 = 25cm, vận tốc quay = 60 vòng/phút.

Bánh xe nhỏ có bánh kính r2 = 10cm, vận tốc quay = x vòng/phút.

Vì hai bánh xe nối nhau bằng dây tời nên vận tốc quay tỉ lệ nghịch với chu vi hay vận tốc quay tỉ lệ nghịch với bán kính.

Theo tính chất ta có: 25.60 = 10.x

Vậy bánh xe nhỏ quay với vận tốc 150 vòng / phút.

Bài 24. Nhận xét: Với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x.

Bài 25. Ta có y = f(x) = 3x2 + 1. Do đó:

Bài 26. Ta có y = 5x - 1

Khi x = -5 thì y = 5.(-5) - 1 = -25 - 1 = -26

Khi x = -4 thì y = 5.(-4) - 1 = -20 - 1 = -21

Khi x = -3 thì y = 5.(-3) - 1 = -15 - 1 = -16

Khi x = -2 thì y = 5.(-2) - 1 = -10 - 1 = -11

Khi x = 0 thì y = 5.(0) - 1 = 0 - 1 = -1

Vậy ta có bảng giá trị sau:

Bài 27.

a) Vì mọi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x

b) Vì mọi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x

Bài 28.

b) Lần lượt thay x bởi -6, -4 ; -3 ; 2 ; 5 ; 6 ; 12 vào công thức  ta được các giá trị tương ứng y là -2; -3; -4; 6; 2, 4; 2 và 1.

Ta được bảng sau:

x	-6	-4	-3	2	5	6	12
	-2	-3	-4	6	2,4	2	1

Bài 29. Ta có y= f(x) = x2 - 2

Do đó f(2) = 22 - 2 = 4 - 2 = 2

    f(1) = 12 - 2 = 1 - 2 = -1

    f(0) = 02 - 2 = 0 - 2 = -2

    f(-1) = (-1)2 - 2 = 1 - 2 = -1

    f(-2) = (-2)2 - 2 = 4 - 2 = 2

Bài 30. Ta có y = f(x) = 1 - 8x

a) f(-1) = 1 - 8(-1) = 1 + 8 = 9 nên khẳng định a là đúng.

 nên khẳng định b là đúng

c) f(3) = 1 - 8.3 = 1 - 24 = -23 nên khẳng định c là sai

Hướng dẫn giải.

Bài 31.

Ta được bảng sau

x	-0,5	-3	0	4,5	9
y	-1/3	-2	0	3	6

Bài 32.

a) M(-3 ; 2) ; N(2 ; -3) ; P(0 ; -2) ; Q(-2 ; 0)

b) Nhận xét: Trong mỗi cặp điểm M và N ; P và Q hoành độ của điểm này bằng tung độ của điểm kia và ngược lại

Bài 33. Cặp số (x0;y0) gọi là tọa độ của một điểm M và x0 là hoành độ và y0 là hoành độ của điểm M

Bài 34.

a) Một điểm bất kì trên trục hoành có tung độ bằng 0

b) Một điểm bất kì trên trục tung có hoành độ bằng 0

Bài 35. Dựa vào hệ trục tọa độ Oxy ta có:

A(0,5; 2); B(2; 2); C(2; 0); D(0,5; 0)

P(-3; 3); Q(-1; 1); R(-3; 1).

Bài 36.

- Vẽ trục tọa độ Oxy và biểu diễn các điểm:

- Tứ giác ABCD là hình vuông.

Bài 37.

a) Tất cả các cặp giá trị tương ứng (x; y) là

    (0; 0) ;    (1; 2) ;    (2; 4) ;    (3; 6) ;    (4; 8)

b) Trên hình vẽ 0, A, B, C, D là vị trí của các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng của x và y trong câu a.

Bài 38. Theo hình vẽ ta có:

Đào cao 15dm, Hồng cao 14dm, Hoa cao 14dm và Liên cao 13dm.

Đào 14 tuổi, Liên 14 tuổi, Hoa 13 tuổi, Hồng 11 tuổi.

a) Đào là người cao nhất và cao 15dm.

b) Hồng là người ít tuổi nhất và là 11 tuổi.

c) Hồng cao hơn Liên và Liên nhiều tuổi hơn Hồng.

Hướng dẫn giải.

Bài 39.

- Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Sau đó ta lấy x bất kỳ tìm y để tìm được tọa độ điểm thứ 2 mà đồ thị đó đi qua.

Vẽ đường thẳng đi qua điểm O và điểm đó ta được đồ thị cần tìm

- Đáp án:

Vẽ hệ trục tọa độ Oxy

a) Với x = 1 ta được y = 1; điểm A(1 ;1) thuộc đồ thị của hàm số y = x

Vậy đường thằng OA là đồ thị hàm số y = x

b) Với x = 1 ta được y = 3.1 = 3; điểm B(1 ;3) thuộc đồ thị của hàm số y = 3x

Vậy đường thằng OB là đồ thị hàm số y = 3x

c) Với x = -1 ta được y = -2 . (-1) = 2; điểm C(-1 ; 2) thuộc đồ thị của hàm số y = -2x

Vậy đường thằng OC là đồ thị hàm số y = -2x

d) Với x = -1 ta được y = -1 . (-1) = 1; điểm D(-1 ; 1) thuộc đồ thị của hàm số y = -x

Vậy đường thằng OD là đồ thị hàm số y = -x

Bài 40.

a) Khi a > 0 đồ thị của hàm số y = ax nằm ở góc phần tư thứ I và III (trường hợp a) và b) bài 39).

b) Khi a < 0 đồ thị của hàm số y = ax nằm ở góc phần tư thứ II và IV (trường hợp c) và d) bài 39).

Bài 41. Ta có y = -3x.

Có :  thuộc đồ thị hàm số

 không thuộc đồ thị hàm số y = -3x

0 = (-3).0 nên C(0 ; 0) thuộc đồ thị hàm số y = -3x.

Bài 42.

a) Ta có A(2; 1) thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ điểm A thỏa mãn y = ax.

Tức là 1 = a.2 suy ra a = ½.

b)Điểm trên đồ thị có hoành độ bằng 1/2 tức là  suy ra .

Vậy điểm cần biểu diễn có tọa độ .

c)Điểm trên đồ thị có tung độ bằng -1, tức là y = -1 suy ra .

Vậy điểm cần biểu diễn có tọa độ (-2 ; -1).

Hình minh họa:

Bài 43.

a) Thời gian chuyển động của người đi bộ là t1 = 4 giờ , của người đi xe đạp là t2 = 2 giờ

b) Quãng đường đi được của người đi bộ là s1 = 2.10 = 20km, của người đi xe đạp là s2 = 3.10 = 30km.

c) Ta có công thức tính vận tốc 

- Vận tốc của người đi bộ là 

- Vận tốc của người đi xe đạp là 

Bài 44. Chọn x = 2 ⇒ y = (-0,5).2 = -1. Vậy A(2 ;-1) thuộc đồ thị.

Vậy đường thằng OA là đồ thị hàm số y = -0.5x

Vẽ đồ thị

a) Trên đồ thị ta thấy

    f(2) = -1

    f(-2) = 1

    f(4) = -2

    f(0) = 0

b) Trên đồ thị ta thấy

    y = -1 ⇒ x = 2

    y = 0 ⇒ x = 0

    y = 2,5 ⇒ x = -5

c) Các giá trị của x khi y dương, khi y âm.

* Từ đồ thị đã cho ta thấy khi y dương và đồ thị nằm ở góc phần tư thứ II, các điểm thuộc đồ thị có hoành độ âm (nhỏ hơn không).

Vậy khi y dương thì x có giá trị âm.

* Tương tự khi y âm thì đồ thị nằm ở góc phần tư thứ IV, các điểm thuộc đồ thị có hoành độ dương.

Vậy khi y âm thì x có giá trị dương.

Bài 45.

- Công thức biểu diễn diện tích y theo x là y = 3x

- Vì với mỗi giá trị của x ta xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số đại lượng x

- Vẽ đồ thị hàm số :

+ Chọn 1 điểm khác O thuộc đồ thị : chọn x = 1 được y = 3 ⇒ A(1 ;3) thuộc đồ thị.

+ Đường thằng OA là đồ thị hàm số y = 3x

Vẽ đồ thị:

a) Trên đồ thị thấy :

+ Điềm thuộc đồ thị có x = 3 thì ứng với y = 9

Vậy khi x = 3 m thì diện tích hình chữ nhật bằng 9(m2)

+ Điểm thuộc đồ thị có x = 4 thì ứng với y = 12

Vậy khi x = 4 m thì diện tích hình chữ nhật bằng 12 (m2)

b) Điểm thuộc đồ thị có y = 6 thì ứng với x = 2 .

Vậy khi diện tích hình chữ nhật bằng 6(m2) thì cạnh x = 2 (m)

Điểm thuộc đồ thị có y = 9 thì ứng với x = 3.

Vậy khi diện tích hình chữ nhật bằng 9 (m2) thì cạnh x = 3 (m)

Bài 46. Theo đồ thị thì:

    2 in ≈ 5,08 cm

    3 in ≈ 7,5 cm

Bài 47. Điểm A (-3; 1) thuộc đồ thị hàm số y = ax thì tọa độ điểm A phải thỏa mãn y = ax, nghĩa là 1 = a.(-3), suy ra .

Vậy hệ số .

Bài 48. Ta có 1 tấn = 1000000g

25kg=25000g

Gọi lượng muối trong 250g nước biển là x (g)

Vì lượng nước biển và lượng muối chứa trong đó là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có :

Vậy 250 gam nước biển chưa 6,25g muối

Bài 49. Vì m = V.D và m là hằng số có khối lượng bằng nhau nên V và D là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau với hệ số tỉ lệ dương.

Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch ta có:

Vsắt.Dsắt = Vchì.Dchì nên suy ra :

Vậy thể tích thanh sắt lớn hơn và lớn hơn khoảng 1,45 lần

Bài 50. Vì V = hS ⇒ diện tích đáy và chiều cao (khi V không đổi) tỉ lệ nghịch với nhau.

Gọi a,b là chiều rộng và chiều dài ban đầu thì  là chiều rộng và chiều dài lúc sau. Ta có:

Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch ta có

Vậy chiều cao lúc sau của bể phải tăng lên 4 lần.

Bài 51. Tọa độ các điểm đó là:

    A(-2; 2) ;     B(-4; 0)

    C(1; 0) ;     D(2; 4)

    E(3; -2) ;     F(0; -2)

    G(-3; -2)

Bài 52. Tam giác ABC là tam giác vuông tại B

Bài 53. Hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của quãng đường S vào thời gian t là: S = 35.t (km)

+ Chọn t = 4 ⇒ S = 35.4 = 140 (km) ⇒ D(4; 140) thuộc đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị chuyển động là đoạn thẳng OD như hình vẽ dưới.

Bài 54. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy

a) Với x = 1 ta được y = -1. Điểm A(1 ;-1) thuộc đồ thị của hàm số y = -x

Vậy đường thằng OA là đồ thị hàm số y = -x

b) Với x = 1 ta được  . Điểm B(1 ; 1/2) thuộc đồ thị của hàm số x

Vậy đường thằng OB là đồ thị hàm số x

c) Với x = 1 ta được . Điểm C(1 ; -1/2) thuộc đồ thị của hàm số x

Vậy đường thằng OC là đồ thị hàm số x

Vẽ đồ thị:

Bài 55. Ta có:  nên điểm A không thuộc đồ thị hàm số y = 3x-1

 nên điểm B thuộc đồ thị hàm số y=3x-1.

1 ≠ 3.0 – 1 nên điểm C không thuộc đồ thị hàm số y = 3x – 1.

-1 = 3.0 – 1 nên điểm D thuộc đồ thị hàm số y = 3x – 1.

Bài 56.

a) - Trẻ em trên 5 tuổi nặng từ trên 14kg đến dưới 19kg là bình thường.

- Trẻ em trên 5 tuổi nặng từ trên 12kg đến dưới 14kg là suy dinh dưỡng vừa.

- Trẻ em trên 5 tuổi nặng từ trên 10kg đến dưới 12kg là suy dinh dưỡng nặng.

- Trẻ em trên 5 tuổi nặng dưới 10kg là suy dinh dưỡng rất nặng.

b) Em bé cân nặng 9,5kg khi tròn 24 tháng là suy dinh dưỡng vừa.