[ĐS & GT] TỔ HỢP - &03. Tổ hợp và Xác suất

 

Hướng dẫn giải.

Bài 25.

a) Không gian mẫu Ω = {1, 2, 3,...50}

b) Kết quả thuận lợi cho A là :

Bài 26. Không gian mẫu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

a) A là biến cố “số được chọn là số nguyên tố”. Ta có ΩA = {2, 3, 5, 7}

Xác suất để số được chọn là số nguyên tố là:

b) Gọi B là biến cố “số được chọn chia hết cho 3”

Bài 27.

a) Gọi A là biến cố “Hường được chọn”

Ta có P(A) = 1/30

b) Gọi B là biến cố “Hường không được chọn”

Ta có P(B) = 29/30

c) Gọi C là biến cố “Bạn có số thứ tự nhỏ hơn 12 được chọn”

Ta có P(C) = 11/30

Bài 28.

a) Ω = {(a, b)|a, b ∈ N*, 1 ≤ a ≤ 6,1 ≤ b ≤ 6}

Không gian mẫu có 36 phần tử.

b) ΩA = {(6; 1),(5; 1); (5; 2),(4;2),(4;3),(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6) }

Tập ΩA có 21 phần tử. Vậy P(A) = 21/36 = 7/12

c) ΩB = {(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6),(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6)}

Tập ΩB có 11 phần tử. Vậy P(B) = 11/36

ΩC = {(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6)}

Tập ΩC có 10 phần tử. Vậy P(C) = 10/36 = 5/18

Bài 29. Số kết quả có thể là C520 . Số kết quả thuận lợi là số cách chọn 5 số trong tập {1, 2,...,10} . Do đó số kết quả thuận lợi là C510 .

Bài 30.

Bài 31. Số kết quả có thể C410 = 210. Số cách chọn toàn quả cầu đỏ là C44 = 1. Số cách chọn toàn quả cầu xanh là C46 = 15. Do đó số cách chọn trong đó có cả quả xanh và đỏ là 210 - 1 - 15 = 194. Vậy xác suất cần tìm là 194/210 = 97/105 .

Bài 32. Số kết quả có thể là 73 = 343 . Số kết quả thuận lợi là A37 = 210 . Vậy xác suất cần tìm là 210/343 = 30/49 .

Bài 33. Số kết quả có thể là 36. Có 8 kết quả thuận lợi là: (1;3),(2;4),(3;5),(4;6) và các hoán vị của nó.

Vậy xác suất cần tìm là 8/36 = 2/9 .

Hướng dẫn giải.

Bài 34.

a) Gọi Ai là biến cố “đồng xu thứ i sấp”, (i = 1,2,3). Ta có P(Ai) = 1/2 . Các biến cố Ai độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất ta có :

P(A1A2A3) = P(A1).P(A2).P(A3) = 1/8

Bài 35.

a)

b)

Bài 36. Gọi A1 là biến cố “ đồng xu A sấp”, A2 là biến cố “đồng xu A ngửa”

Gọi B1 là biến cố “ đồng xu B sấp”, B2 là biến cố “đồng xu B ngửa”

Theo bài ra ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5, P(B1) = 0,75.P(B2) = 0,25

a) A2B2 là biến cố “cả 2 đồng xu đều ngửa”. theo quy tắc nhân xác suất ta có:

P(A2B2) = 0,5.0,25 = 0,125

b) Gọi H1 là biến cố “khi gieo lần đầu cả 2 đồng xu đều ngửa”, H2 là biến cố “khi gieo lần hai cả 2 đồng xu đều ngửa”. Khi đó H1H2 là biến cố “khi gieo hai lần cả hai đồng xu đều ngửa”.

Từ a) ta có P(H1) = P(H2) = 0,5.0,25 = 0,125

Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta có P(H1H2) = P(H1).P(H2) = 0,125.0,125 = 1/64

Bài 37. Gọi Ai là biến cố “học sinh đó trả lời không đúng câu thứ i” với i=1,2,…,10.

Khi đó A1A2...A10 là biến cố “học sinh đó trả lời không đúng cả 10 câu”

Từ giả thiết ta có P(Ai) = 0,8 .

Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta có

P(A1A2...A10) = P(A1).P(A2)...P(A10) = (0,8)10 ≈ 0,1074

Hướng dẫn giải.

Bài 38. Gọi A là biến cố “thẻ rút từ hòm thứ nhất không đánh số 12”, B là biến cố “thẻ rút từ hòm thứ hai không đánh số 12”. Ta có P(A) = P(B)= 11/12

Gọi H là biến cố “trong 2 thẻ rút ra có ít nhất 1 thẻ đánh số 12”. Khi đó biến cố đối của H là :

Bài 39.

a) Vì P(AB)=0,2 ≠ 0 nên 2 biến cố A và B không xung khắc

b) Ta có P(A).P(B) = 0,12 ≠ P(AB) = 0,2 nên hai biến cố A và B không độc lập với nhau.

Bài 40.

Vậy n nhỏ nhất là 6 hay An phải chơi tối thiểu 6 trận.

Bài 41. Gọi B là biến cố “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của 2 con súc sắc bằng 8”. Tập hợp mô tả biến cố B là ΩB = {(2;6),(6;2),(3;5),(5;3),(4;4)} và không gian mẫu có 36 phần tử.

Khi đó P(B) = 5/36

Bài 42. Giả sử T là phép thử “gieo 3 con súc sắc”

Kết quả của T là bộ ba số (x,y,z) trong đó x,y,z tương ứng là kết quả của việc gieo súc sắc thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Không gian mẫu T có 6.6.6=216 phần tử. Gọi A là biến cố “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 9”. Ta có tập hợp các kết quả thuận lợi cho A là: ΩA = {(x;y;z)|x + y + z = 9,x, y, z ∈ N*, 1 ≤x,y,z ≤ 6}

Nhận xét: 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3

Tập {1,2,6} cho ta 6 phần tử của ΩA là (1,2,6); (1,6,2); (2,1,6); (2,6,1); (6,1,2); (6,2,1).

Tương tự tập {1,3,5},{2,3,4} mỗi tập cho ta 6 phần tử của ΩA .

Mỗi tập {1,4,4},{2,2,5} cho ta 3 phần tử của ΩA

Tập {3,3,3} cho ta 1 phần tử của ΩA

Vậy |ΩA| = 6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 1 = 25

Suy ra P(A) = 25/216

Bài 43. X là một biến ngẫu nhiên rời rạc vì:

- Giá trị của X là một số thuộc tập hợp {1,2,…,100} (vì số người trong mỗi gia đình ở VN không thể vượt quá 100).

- Giá trị của X là ngẫu nhiên (vì nó phụ thuộc vào bạn học sinh mà ta chọn ngẫu nhiên)

Bài 44. X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Tập hợp các giá trị của X là {0,1,2,3}. Để lập bảng phân bố xác suất của X ta phải tính các xác suất P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3).

Không gian mẫu gồm 8 phần tử sau: {TTT, TTG, TGT, TGG, GTT, GTG, GGT, GGG}

(trong đó T:trai, G:gái)

Như vậy không gian mẫu gồm 8 kết quả đồng khả năng.

Gọi Ak là biến cố “gia đình có k con trai” (k = 0,1,2,3)

P(X = 0) = P(Ao) = 1/8 (vì chỉ có 1 kết quả thuận lợi cho Ao là GGG)

P(X = 1) = P(A1) = 3/8 (vì có 3 kết quả thuận lợi cho A1 là TGG, GTG,GGT)

P(X = 2) = P(A2) = 3/8 (vì có 3 kết quả thuận lợi cho A2 là GTT,TGT,TTG)

P(X = 3) = P(A3) = 1/8 (vì chỉ có 1 kết quả thuận lợi cho A3 là TTT)

Vậy bảng phân bố xác suất của X là:

Bài 45.

a) Gọi A là biến cố “phải tăng cường them bác sĩ trực”. từ điều kiện của bài ra, ta có :

P(A) = P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,2 + 0,1 + 0,05 = 0,35

b) P(X > 0)=1 - P(X = 0) = 1 - 0,15 = 0,85.

Bài 46. Ta có P(X > 2) = P(X = 3)+P(X = 4)+P(X = 5)

=0,15 + 0,1 + 0,1 = 0,35

Bài 47. Ta có X = {0,1,2,3}

Bảng phân bố xác suất của X là :

Bài 48. Ta có X = {0,1,2,3,4,5}

Bảng phân bố xác suất của X là:

Bài 49. Ta có: X= {0,1,2,3,4,5}

Bảng phân bố xác suất của X là :

Bài 50. Ta có X ={0,1,2,3}

Vậy bảng phân bố xác suất của X là :

Bài 51.

a) Xác suất để số đơn hàng đặt thuộc đoạn [1;4] là:

P(1 ≤ X ≤ 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,2 + 0,4 + 0,1 + 0,1 = 0,8

b) Ta có P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0,1 + 0,1 = 0,2

c) Số đơn đặt hàng trung bình đến công ty trong 1 ngày là kì vọng của X.

E(X)= 0.0,1 + 1.0,2 + 2.0,4 + 3.0,1 + 4.0,1 + 5.0,1 = 2,2

Bài 52.

a) Ta có : P(2 < X < 7) = P(X = 3) +P(X = 4) +P(X = 5) +P(X = 6)

=0,14 + 0,18 + 0,25 + 0,15 = 0,72.

b) P(X > 5)= P(X = 6) +P(X = 7) +P(X = 8) +P(X = 9)

=0,15 + 0,07 + 0,04 + 0,01 = 0,27

Bài 53.

Bài 54.