[HH11] Phép biến hình-06.Phép đồng dạng & Ôn tập

tháng 7 14, 2021

Hướng dẫn giải.

Bài 31. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC thì phép đồng dạng F biến điểm D thành trung điểm D’ của đoạn thẳng B’C’ và vì thế trung tuyến AD của tam giác ABC biến thành trung tuyến A’D’ của tam giác A’B’C’ . Đối với hai trung tuyến còn lại cũng vậy. Vì trọng tâm tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến nên trọng tâm tâm giác ABC biến thành trọng tâm tam giác A’B’C’.

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (H Є BC). Khi đó phép đồng dạng F biến đường thẳng AH thành đường A’H. Vì AH ⊥ BC nên A’H’ ⊥ B’C’ , nói cách khác A’H’ là đường cao của tam giác A’B’C’. Đối với các đường cao khác cũng thế. Vì trực tâm tam giác là giao điểm của các đường ca nên trực tâm tam giác ABC biến thành trực tâm tam giác A’B’C’.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC thì OA = OB = OC nên nếu điểm O biến thành điểm O’ thì O’A’ = O’B’ = O’C’ = kOA = kOB = kOC, do đó O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’

Bài 32. Giả sử cho hai n-giác đều A1A2...An và B1B2…Bn có tâm lần lượt là O và O'. Đặt :

Gọi V là phép vị tự tâm O , tỉ số k và C1C2…Cn là ảnh của đa giác A1A2…An qua phép vị tự V . Hiển nhiên C1C2…Cn cũng là đa giác đều vì :

Nên C1C2 = B1B2. Vậy hai n-giác đều C1C2….Cn và B1B1…Bn có cạnh bằng nhau, tức là có phép dời hình D biến C1C2…Cn thành B1B2…Bn (xem BT22, chương I, SGK). Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng đạng biến A1A2…An thành B1B2…Bn.Vậy hai đa giác đều đó đồng dạng với nhau

Bài 33. Ta chú ý rằng có thể dựng rất nhiều tam giác ABC với hai góc

bằng hai góc β và γ đã cho,nhưng các tam giác đó đều đồng dạng với nhau. Vậy ta chỉ cần chọn trong các tam giác đó một tam giác thỏa mãn điều kiện về yếu tố thứ ba đã cho. Ta suy ra cách dựng :

Dựng tam giác A’B’C’ có hai góc B’ và C’ lần lượt bằng β và γ. Cụ thể như sau : Dựng đoạn thẳng B’C’ tùy ý. Trên một nửa mặt phẳng có bờ B’C’ dựng tia B’x và

Hai tia đó cắt nhau tại A và có tam giác A’B’C’

Dựng đường cao AH’ của tam giác AB’C’. Nếu AH’= h thì AB’C’ là tam giác cần dựng

b) Tương tự như câu a

c) Dựng tam giác A’B’C’ như câu a) rồi dựng tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’. Trên tai AO’ lấy điểm O sao cho AO = R rồi dựng đường tròn (O) đi qua A (tức là có bán kính bằng R). Hai tai AB’ và AC’ lần lượt cắt (O) tại các điểm B và C (khác A ). ABC là tam cần dựng.

HD giải ôn tập chủ đề PHÉP BIẾN HÌNH

III.1.

a) Gọi (O1; R) LÀ ảnh của đường tròn (O; R) qua phép đồi xứng trục Đ_d. Giao điểm của hai đường tròn (O1; R) và (O’;R’) Chính là điểm N cần tìm, điểm M là điểm đối xứng với N qua d

b) Vẫn gọi (O1; R) như trên và I là hai điểm cần tìm IT' là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1; R) và (O’;R’). Suy ra cách dựng :

Vẽ tiếp tuyến chung t (nếu có) của hai đườngtròn (O1; R) và (O';R). Giao điểmcủa t và d chính là điểm I cần tìm. Khi đó tiếp tuyến IT’ chính là t còn đường thẳng đối xứng với IT’ qua d là tiếp tuyến IT của (O; R)

III.2. Giả sử hình H có hai trục đối xứng d và d’ vuông góc với nhau. Gọi O là giao điểm của hai trục đối xứng đó. Lấy M là điểm bất kì thuộc hình H1,M1 là điểm đối xứng với M qua d, M’ là điểm đối xứng với M1 qua d'.Vì d và d’ đều là trục đối xứng của hình H nên M1 và M' đều thuộc H .

Gọi I là trung điểm của MM1,J là trung điểm của M1M' ta có:

Vậy phép đối xứng tâm O biến điểm M thuộc hình H thành điểm M’ thuộc H, suy ra H có tâm đối xứng là O.

III.3.

III.4.

Vậy điểm O’ cố định và F chính là phép đối xứng qua tâm O’

III.5. Gọi I là trung điểm MM3, ta chứng minh I là điểm cố định

Thật vậy, Ta có :

Như vậy điểm I cố định, do đó phép biến hình F biến M thành M3 là phép đối xứng qua điểm I.

b) Quỹ tích điểm M3 là đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm với tâm I.

III.6. Ta lấy một điểm A cố định và đặt A’ =F(A). Theo giả thiết với điểm M bất kì và ảnh M’ = F(M) của nó, ta có :

III.7.

Nên phép vị tự V biến điểm M thành điểm B , biến điểm N thành điểm C.

Vậy V biến hình vuông MNPQ thành hình vuông BCP’Q’ như hình trên.

b) Dựng hình vuông BCP’Q nằm ngoài tác giác ABC như hình . Lấy giao điểm P, Q của BC với các đoạn thẳng tương ứng AP’ và AQ’ . Từ P và Q, kẻ các đường thẳng vuông góc với BC , lần lượt cắt AC và AB tại N và M . Khi đó MNPQ chính là hình vuông cần dựng.