[HH11] Phép biến hình-04.Hai hình bằng nhau

 

Hướng dẫn giải.

Bài 20. Giải sử hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có AB = CD = A’B’ = C’D’, AD = BC = A’D’ = B’C’. Khi đó ABC và A’B’C’ là hai tam giác vuông bằng nhau do đó có phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Khi đó phép dời hình F biến trung điểm O của AC thành trung điểm O’ của A’C’. Nhưng vì O và O’ lần lượt cũng là trung điểm BD và B’D’ nên F cũng biến D thành D’. Vậy F biến ABCD thành A’B’C’D’, nên theo định nghĩa hai hình chữ nhật đó bằng nhau

Bài 21.

a) Giả sử hai tứ giác lối ABCD và A’B’C’D’ có AB =A’B’, BC=B’C’, CD=C’D’, DA=D’A’ VÀ AC=A’C’. Khi đó hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau nên có phép dời hình F biến 3 điểm A, B, C lần lượt thành ba điểm A’, B’, C. Gọi D’’ là điểm đối xứng với D’ qua đường thẳng A’C’ thì 2 tam giác A’C’D’ và A’C’D’’ bằng nhau và theo giả thiết, cùng bằng tam giác ACD. Bởi vậy phép F chỉ có thể biến điểm D thành điểm D’ hoặc D’’ (do phép dời hình bảo toàn độ dài đoạn thẳng)

Vì ABCD là tứ giác lồi nên hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau. A’B’C’D’ cũng là tứ diện lồi nên hai đoạn thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau và do đó hai đoạn thẳng A’C’ và B’D’’ không cắt nhau. Từ đó suy ra F biến D thành D’. Vậy F biến tứ giác ABCD thành tứ giác A’B’C’D ’ và do đó 2 tứ giác đó bằng nhau

b) Giả sử 2 tứ giác ABCD và A’B’C’D’ có AB = A’B’, BC = B’C’ , CD = C’D’, DA = D’A’ và góc ABC bằng A’B’C. Khi đó AC = A’C’ và ta đưa về trường hợp ở câu a

c) Có thể không bằng nhau. Hai hình thoi có cạnh bằng nhau nhưng có thể là hai hình không bằng nhau ( vì phép dời hình biến góc thành góc bằng nó)

Bài 22. Theo định nghĩa. Hai n-giác đều bằng nhau thì cạnh bằng nhau. Ngược lại giả sử hai n-giác đều A1A2…An và A'1A'2...A'n có cạnh bằng nhau. Khi đó nếu gọi O và O’ lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đó thì hai tam giác OA1A2 và O’A’1A’2 bằng nhau.

Vậy có phép dời hình F biến tam giác OA1A2 thành tam giác O'A'1A'2. Vì hai tam giác OA2A3 và O'A'2A'3 cùng bằng nhau nên F biến điểm A3 thành điểm A'3. (Vì A3 không thể biến thành A’1).

Lập luận tương tự ta cũng có F biến các điểm A4….An lần lượt thành các điểm A'4 ….A'n. Như vậy hai đa giác đều đã cho bằng nhau.

Bài 23. Ta có : O1O2 = r1 + r2 = I1I2

O2O3 = r2 + r3 = I2I3

O3O1 = r3 + r1 = I3I1

Suy ra ΔO1O2O3= ΔI1I2I3

Nên có phép dời hình F biến ba điểm O1,O2,O3lần lượt ba điểm I1,I2,I3. Hiển nhiên khi đo F biến ba đường tròn (O1; r1), ( O2; r2), ( O3; r3) lần lượng thành ba đường tròn (I1; r1), ( I2; r2), ( I3; r3) tức là biến hình H1 thành hình H2 . Vậy hai hình H1 và H2 bằng nhau

Bài 24. Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành thì chia hình bình hành đó thành hai phần bằng nhau, vì phép đối xứng qua tâm O sẽ biến phần này thành phần kia. Bởi vậy, nếu cho hai hình bình hành, ta chỉ cần vẽ đường thẳng đi qua tâm chúng thì đường thẳng đó sẻ chia mỗi hình bình hành thành hai phần bằng nhau

Nếu tâm hai hình bình hành trùng nhau thì mọi đường thẳng đi qua tâm đó đều chia mỗi hình bình hành thành hai phần bằng nhau