[HH11] Phép biến hình-03.Phép quay & đối xứng tâm

 

Hướng dẫn giải.

Bài 12. Ảnh d’ của đường thẳng d qua phép quay Q(O, φ) có thể dựng như sau:

Lấy hai điểm A, B phân biệt trên d rồi dựng ảnh A’B’ của chúng. Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua A’ và B’.

Bài 13. Gọi Q là phép quay tâm O , góc quay π/2 (bằng góc lượng giác (OA,OB))

Khi đó Q biến A thành B và biến A’ thành B’ , tức là biến tam giác OAA’ thành tam giác OBB’

Bởi vậy Q biến G (trọng tâm tam giác OAA’) thành G’(trọng tâm tam giác OBB’). Suy ra OG = OG’ và GÔG' = π/2

Vậy GOG’ là tam giác vuông cân tại đỉnh O.

Chú ý : Phép quay Q biến trọng tâm tam giác ABC thành trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’ ảnh của ΔABC qua Q được suy từ phép quay Q biến trung điểm I của đoạn thẳng AB thành trung điểm I’ của đoạn thẳng A’B’ ảnh của AB qua Q.

Bài 14.

a) Kẻ OH vuông góc d (h Є d) thì vì d không đi qua O nên H không trùng với O. Phép đối xứng tâm Đ_o biến H thành H^' thì O là trung điểm của HH’ và biến đường thẳng d’ vuông góc với OH’ tại H’. Suy ra d và d’ //, cách đều điểm O

b) Nếu d không đi qua điểm O thì theo câu a), d’//d nên d’ không trùng với d. Nếu d đi qua O thì mọi điểm M Є d. Vậy d’ trùng với d

Bài 15. Cách dựng ảnh d’ của d như sau: Lấy hai điểm A, B phân biệt trên d rồi dựng ảnh A’B’ của chúng . Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua A’B’. Ta có thể dựng cụ thể như sau:

Dựng đường tròn (O; R) sao cho nó cắt d tại hai điểm phân biệt A, B. Dựng các đường thẳng AO và BO, chúng cắt đường tròn đó lần lượt tại A’, B’ dựng đường thẳng d’ đi qua A’và B’. Phép dựng trên đây sử dụng compa một lần nữa và thước thẳng ba lần .

Bài 16.

a) Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường thẳng.

b) Tâm đối xứng là những điểm cách đều hai đường thẳng.

c) Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn.

d) Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm của elip.

e) Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm của hypepol.

Bài 17. Ta vẽ đường kính AM của đường tròn.

Khi đó BH // MC (vì cùng vuông góc với AB) hay BHCM là hình bình hành, nếu gọi I là trung điểm của BC thì I cố định và cũng là trung điểm của BC thì I cố định và cũng là trung điểm của MH. Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H

Khi A chạy trên đường tròn (O; R) thì M chạy trên đường tròn (O; R). Do đó , H nằm trên đường tròn là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép đối xứng tâm vơi tâm I.

Bài 18. Giả sử ta đã có điểm A trên đường tròn (O; R) và điểm B trên Δ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Phép đối xứng tâm Đ_1 biến điểm B thành điểm A nên biến đường thẳng Δ thành đường thẳng Δ’ đi qua A. Mặt khác A lại nằm trên (O; R) nên A phải là giao điểm của Δ’ và (O; R)

Suy ra cách dựng:

Dựng đường thẳng Δ’ là ảnh của Δ qua phép đối xứng tâm Đ_(1.)lấy A là giao điểm (nếu có) của Δ’ và (O; R), còn B Là giao điểm của đường thẳng AI và đường thẳng Δ

Số nghiệm hình là số giao điểm của Δ’ và (O; R)

Bài 19.