[HH11] Phép biến hình-02.Đối xứng trục

 

Hướng dẫn giải.

Bài 7.

a) Khi d // a thì d // d’

b) Khi d vuông góc với a hoặc d trùng với a thì d trùng với d’

c) Khi d cắt a nhưng không vuông góc với a. Khi đó giao điểm của d và d’ nằm trên a.

d) Khi góc giữa d và a bằng 45° thì d ⊥ d’

Bài 8.

Bài 9. 

Xét tam giác bất kì ABC có B và C lần lượt nằm trên hai tia Ox và Oy. Gọi A’ và A’’ là các điểm đối xứng với điểm A lần lượt qua các đường thẳng Ox và Oy .

Ta có AB = A’B và AC = A’’C (do các ΔABA’ và ΔACA” là các tam giác cân ).

Gọi 2p là chu vi của tam giác ABC thì :

2p = AB+BC+CA=A’B+BC+CA” ≥A’A”

Dấu “=” xảy ra khi bốn điểm A’, B, C , A” thẳng hàng .

Suy ra để chu vi tam giác ABC bé nhất thì phải lấy B và C lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng A’A” với hai tia Ox và Oy (các giao điểm đó tồn tại vì góc xOy nhọn)

Bài 10.

Trường hợp BC là đường kính thì H trùng A, do đó H nằm trên đường tròn cố định (O; R)

Xét trường hợp BC không là đường kính. Giả sử đường thẳng AH cắt đường tròn (O; R) tại H’. Như vậy với mỗi điểm A Є (O; R) khác với B và C thì ta xác định điểm H’Є (O; R) . Gọi AA’ là đường kính của đường tròn (O; R) thì A’B // CH (Vì cùng vuông góc với AB) và A’C//BH (vì cùng vuông góc AC) nên A’BHC là hình bình hành. Vậy BC đi qua trung điểm của HA’ . Mặt khác BC//A’H’(Vì cùng vuông góc với AH) nên BC cùng đi qua trung điểm của HH’.

Do đó H và H’ đối xứng với nhau qua BC. Nếu gọi Đ là đối xứng có trục là đường thẳng BC thì Đ biến H’ thành H. Nhưng H’ luôn luôn nằm trên (O; R) nên H nằm trên đường tròn cố định là ảnh hưởng của đường tròn (O; R) qua phép đối xứng trục Đ

Cách khác:gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC . Chứng minh tứ giác ABH’C nội tiếp, từ đó suy ra H’ nằm trên (O; R)

Bài 11.

a) Các hình có trục đối xứng là những từ sau đây :

b) Trục Oy luôn là trục đối xứng của đồ thị hàm số chẵn y = f(x)

Thật vậy nếu điểm M(x; y) thuộc đồ thị , tức là y = f(x) thì điểm đối xứng với M qua Oy là điểm M (-x; y) cũng thuộc đồ thị vì: f(-x) = f(x) = y